ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Системы с двумя степенями свободы Примеры систем с двумя степенями свободы из "Колебания в инженерном деле " Уравнения движения нелинейных систем могут быть всегда решены приближенно шаговым методом. Многие из хорошо известных методов основаны на использовании для отыскания решений формул экстраполяции и интерполяции, которые применяются для ряда малых, но конечных, интервалов времени. В данном параграфе дается описание и сравнение ряда эффективных подходов такого типа, дано также краткое обсуждение других подходов. [c.179] Эти временные интервалы обычно берутся постоянной длительности А/, что не является обязательным правилом. [c.180] Первое слагаемое в этом остаточном члене ряда является наиболее существенным и называется, главньш членом ошибки локального усечения ряда. [c.180] Тогда первые приближения для х- и х находим соответственно по формулам (2.65) и (2.66). Все последующие итерации на первом шаге по времени состоят в повторном использовании формул (2.64), (2.65) и (2.66). [c.181] Для того чтобы начать итерационный процесс на г-м шаге по времени, можно снова воспользоваться формулой Эйлера и определить первое приближение для х . [c.181] Выражения (в) и (д) являются явными (или открытыми) экстраполяционными формулами (или предактором ), с помощью которых приближенное значение Х в явном виде выражается через ранее найденные значения х, х н х. С другой стороны, выражение (2.60) называется неявной (или скрытой) интерполяционной формулой (или корректором ), которая позволяет находить более точные значения X,-, если найдено приближенное значение Х . Метод усреднения по ускорению состоит в однократном использовании предиктора, после чего применяются итерации с корректором. Такой подход известен как метод предиктора-корректора. [c.182] Будем использовать постоянный шаг по времени Д = 0,1 с и вести вычисления с точностью для перемещения до четырех значащих цифр [см. неравенство (2.70)]. [c.183] На этом шаге по времени решение сходится с точностью до четырех значащих цифр на четвертом цикле итераций. [c.184] Из табл. 2.1а, где приведены результаты для 20 шагов по времени, можно видеть, что приближенные значения х совпадают с точными [полученными с помощью выражения (к)] вплоть до трех значащих цифр. Таким образом, показанные на рис. 2.24 точки практически совпадают с соответствующими точками на кривой, представляющей точное решение. [c.184] Сравнивая выражения (р) и (2.63), видим, что перемещения, определяемые методом линейного ускорения, должны быть значительно более точными, чем получаемые методом усредненных ускорений. Однако, как было показано в проведенных исследованиях , метод линейных ускорений является только условно устойчивым, а это означает, что при определенных неблагоприятных условиях накапливаемые погрешности могут стать бесконечно большими. Метод усредненных ускорений, напротив, является безусловно устойчивым, хотя и менее точным. [c.185] Полученные выше формулы (2.67), а также (2.68) или (2.69) можно вновь использовать для получения на каждом шаге первоначальных значений в итерационном процессе. [c.186] Когда приведенную в примере 1 задачу решали методом линейных ускорений, были получены результаты, приведенные в табл. 2.16. В данном случае большинство приближенных значений л ближе к точному решению, чем приведенные в табл. 2.1а, и были получены методом усредненных ускорений. Проверив эти методы на линейной задаче, применим их теперь для исследования примеров нелинейных задач. [c.186] В табл. 2,2 приведены результаты для 20 шагов по времени (с шагом Ы = = 0,1 с) как методом усредненных ускорений, так и методом линейных ускорений. Величина угла ф в момент времени ю должна равняться нулю, и метод линейных ускорений дает меньшее из получаемых обоими методами приближенное значение Фю- Однако оба метода дают правильное конечное значение угла фго = —1,5708 рад. На рис. 2.25 показан график приближенных значений угла ф в зависимости от времени. [c.187] Результаты, полученные обоими методами с использованием 20 шагов по времени с шагом М = 0,025 с, приведены в табл. 2.3. На рис. 2.26 показан график приближенных значений перемещения х в зависимости от времени. Максимальное значение, приближенно равное 0,05 м, появляется, как это и должно быть, вблизи момента времени 12= 0,30 с. [c.187] Здесь Axi, Ax , AJ j и AQ — приращения соответственно перемещения, скорости, ускорения и нагрузки на i-м шаге и k i — значения массы, постоянной демпфирования и жесткости в начале каждого шага. Формулы явной схемы, аналогичные выражению (2.75а), можно записать относительно приращений ускорения Ax , скорости Ах и перемещения Axf. [c.189] Уравнения (2.77а) и (2.776) представляют систему двух уравнений первого порядка, которую можно интегрировать численно, используя параллельные одинаковые выражения для экстраполяции неизвестных X V. у. Хотя этот прием и прост, здесь не удалось обойти тот факт, что уравнение (2.77а) имеет более специфическую форму, чем уравнение (2.776). Более эффективный подход состоит в том, чтобы вместо использования параллельной одинаковой экстраполяции выразить у, а затем и л в виде ряда. Если поступить согласно сказанному, дальнейшая методология сводится к тому же численному решению уравнения второго порядка с использованием двух последовательных экстраполирующих формул для х мх, как и описано в данном параграфе. [c.190] Ответ х 3,81-Ю м tyi = 0,75 с. [c.191] 1 и 2 рассматривались только системы, имеющие одну степень свободы. В данной и следующей главах будут обсуждены системы, имеющие несколько степеней свободы, простейшими из которых являются системы с двумя степенями свободы. Конфигурация такой системы полностью определяется двумя координатами (или перемещениями), а для того чтобы описать ее движение, требуется два дифференциальных уравнения. [c.192] Таким образом, получена система двух линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. [c.192] Вернуться к основной статье