ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Однородные и изотропные случайные поля из "Распространение волн в турбулентной атмосфере " Реальные флуктуационные процессы очень часто могут с достаточной степенью точности описываться при помощи стационарных случайных функций. К таким процессам относится, например, флуктуационное напряжение, которое возникает на сопротивлении, находящемся в состоянии термодинамического равновесия с окружающей средой. Однако можно указать и на противоположные случаи, когда флуктуационные процессы не являются стационарными, В качестве примера можно указать на интеграл от стационарного процесса. [c.25] При рассмотрении нестационарных процессов необходимо иметь возможность воспроизведения внешних условий, при которых этот процесс протекает. Действительно, в этом случае единственная возможность нахождения статистических характеристик процесса заключается в усреднении по большому числу реализаций, получаемых в одинаковых условиях. [c.25] Кроме того, в случае нестационарных процессов необходимо иметь естественное начало отсчета времени при рассмотрении каждой из реализаций в противном случае при нахождении статистических характеристик произойдет усреднение по времени и процесс невозможно будет отличить от стационарного. [c.25] Колмогорова [10, И]. Идея, лежащая в основе этого метода. [c.25] Таким образом, процесс / ( ) не является стационарным, так как его среднее значение и корреляционная функция явно зависят от времени t. [c.26] Таким образом, и среднее значение, и корреляционная функция процесса Рт (О не зависят от времени I (они, однако, зависят от выбранного постоянного сдвига по времени Т). [c.27] Условия (19) значительно менее жесткие, чем условия (18). Они, в частности, допускают, чтобы функция W (со) имела в нуле степенную особенность W (со) , со , где х С 3. При этом структурная функция D (т), вычисленная по формуле (17), будет иметь смысл, в то время как корреляционная функция В (т) уже не будет существовать. Это обстоятельство наводит на мысль, что спектральное разложение (17), полученное нами из спектрального разложения (17. 2) для корреляционной функции, выполняется и тогда, когда разложение (17. 2) уже не справедливо. Как показано в работе А. М. Яглома [1], это действительно так. [c.30] Таким образом, процессы со стационарными приращенияш отличаются от стационарных процессов в двух отнотениях их среднее значение может быть линейной функцией времени, а спектр может иметь особенность в пуле. [c.30] Сравнивая методы описания стационарных случайных процессов и процессов со стационарными приращениями, можно также заметить, что их описание ири помощи спектральных функций W (й) имеет преимущества перед описанием прн помощи корреляционных и структурных функций. Это преимущество заключается в том, что, ислользуя функцию W (м), можно пе заботиться о том, является ли процесс стационарным или обладает лишь стационарными приращениями,— в обоих случаях функция (ю) существует н имеет тот же самый физический смысл спектральной плотности энергии. И лишь на окончательно.м этапе вычислепин, когда мы хотим найти В (т) или D (т), мы пользуемся формулой (17-2) или (17) в зависимости от того, имеет W ( ) интегрируемую особенность в нуле или нет. Второе преимущество спектрального описания заключается в том, что функция W (оз) имеет более прямой физический смысл, чем В (т) или D (т). [c.31] Заметим, что условия (21) и (23), вообще говоря, различны и для вычисления W (ш) требуется их предварительная проверка с целью выбора той или иной формулы (см. примеры). [c.32] Легко проверить, что, подставляя разложение (28) в формулу (12), мы получим формулу (17), выражающую D (х) через W (ю) (при этом надо помнить, что / ( ) = / (i)). [c.33] Рассмотрим два примера. [c.33] Формулы (35) и (36) являются асимптотическим видом выражений (31) и (33). которые при т оо и ю - О стремятся к постоянным значениям. Поэтому при больших т и малых ш формулы (35) и (36) сильно отличаются от исходных формул (31) и (33). [c.34] Вид структурных функций и их спектров из примеров 1), 2) приведен на рис. 4, 5. [c.36] Сравнивая рассмотренные примеры, мы видим, что структурная функция вида (37), которая в первом примере являлась асимптотическим видом структурной функции (31) стационарного случайного процесса, сама может являться структурной функцией процесса со стационарными нриращениями. В теории турбулентности мы имеем дело как раз с таким случаем, когда нам известен лишь асимптотический вид структурных функций для достаточно малых значений аргумента т и неизвестно поведение этих функций при больших т. В таких случаях оказывается целесообразным рассматривать случайный процесс как процесс со стационарными приращениями и в тех случаях, когда зто допустимо, распространять асимптотический вид структурных функций, известный лишь при малых т, на весь интервал значений т. [c.36] Формула (13) позволяет находить выражение для трехмерной спектральной плотности изотропного случайного поля, если известна его одномерная спектральная плотность V (х). [c.39] Приведем несколько примеров пространственных корреляционных функций и их спектров. [c.39] Вернуться к основной статье