ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Спин и статистика из "РСТ, спин и статистика и все такое " Докажем все эти утверждения по порядку. Следуя Дель Антонио, сначала рассмотрим теорию, в которой компонента поля ф имеет разные перестановочные соотношения с компонентой поля ф и сопряженной ей величиной г ). [c.207] Дальше мы докажем собственно теорему о спине и статистике. Для ясности будем сначала рассматривать скалярное поле, а затем опишем изменения, необходимые для полей с произвольным спином. [c.208] Пусть ф — скалярное поле. Предположим, что [ф( ),Ф (У)]+ = 0 для (ж—г/)2 0. [c.208] В теории поля, в которой ф и ф коммутируют или антикоммутируют со всеми другими полями, отсюда следует ф = ф = 0. [c.208] Таким образом, для всех основных функций / имеет место равенство 1 ф(/)То11 = ф (/)То11 = О, что приводит к Ф (/) То = О и позволяет завершить доказательство первой половины теоремы. [c.210] Вернемся теперь к обсуждению перестановочных соотношений между разными полями. Начнем с примера, который простейшим образом. проиллюстрирует ряд возникающих проблем. [c.212] Можно принять две точки зрения на преобразование ф. 1 5ф, ф. Согласно первой, это просто замена переменных . Наблюдаемые в теории оказываются некоторыми функциями полей ф, -ф, а они в свою очередь — функциями полей ф, ор. Поэтому наблюдаемые представляют собой некоторые (другие) функции полей ф, ф. Предшествующая дискуссия просто отражает тот факт, что с помощью замены переменных наблюдаемые могут быть выражены через набор полей, удовлетворяющих нормальным перестановочным соотношениям. [c.213] Как сейчас будет показано, из этих соотношений следует обращение в нуль некоторых вакуумных средних. Имея в виду дальнейшие применения, сформулируем и докажем этот результат для теории полей с произвольным спином. [c.214] В любой локальной теории поля, если М хи ., Жj) и Л (г/1. г/й) — два одночлена по компонентам поля, антикоммутирующих в множествах точек (ж) и (у), разделенных пространственноподобными интервалами, то либо (То, МТо) = О, либо (Ч -о, /УЧ о) = 0. [c.214] Возвращаясь к рассматриваемой модели, предположим, что для некоторого нечетного п величина (То, 9(2 1)... [c.215] Такое выражение также обращается в нуль, если к 1) нечетно [см. замечание после (4-30)]. Очевидно, что этот факт совместно с (4-56) приводит к тому, что вакуумные средние, а следовательно, и вся теория инвариантны относительно группы из четырех преобразований вида ( рь ф2)- ( фь гЬ рг). Эта симметрия приводит к закону сохранения, который мы будем называть четно-нечетным правилом. [c.215] Определим теперь преобразование Клейна для этого случая. Оно должно оставлять поля г 1 и г 2 неизменными и заменять поле ф на новое поле ф, определенное как ф на тех векторах области определения ф, которые входят в Ж+ , определенное как —ф на тех векторах, которые входят в Ж-, , и тем самым в силу линейности определенное везде. Нетрудно убедиться в том, что поле ф эрмитово. Тогда поля ф = 1 И = 1р2 удовлетворяют нормальным перестановочным соотношеииям. [c.216] Рассмотрим далее случай набора локальных полей с произвольным спином, следуя анализу, проведенному Араки. Главные необходимые шаги состоят в том, чтобы показать, что аномальные перестановочные соотношения приводят к четно-нечетным правилам, и после этого установить, что это позволяет определить необходимые преобразования Клейна. Предположим, что имеются п полей ф1. фп и что все компоненты поля Ф - удовлетворяют одним и тем же перестановочным (пли антиперестановочным) соотношениям со всеми компонентами поля фй. Мы предполага-ем, что операторы ф, , сопряженные компонентам Ф поля (pj, содержатся в числе компонент фйр. Наше окончательное утверждение содержится в теореме, следующей ниже. [c.217] В любой теории поля с аномальными перестановочными соотношениями всегда существует неприводимый набор полей, удовлетворяющих нормальным перестановочным соотношениям, который может быть получен из первоначального набора полей с помощью преобразования Клейна. [c.217] Очевидно, что Огу = Оц. В силу теоремы 4-10 всякое поле всегда обладает нормальными перестановочными соотношениями с самим собой, откуда следует, что аи = 0. [c.219] НОЧНЫМИ соотношениями. В противном случае говорят, что эти одночлены обладают аномальными перестановочными соотношениями. Два одночлена могут обладать нормальными перестановочными соотношениями, хотя составляющие их поля могут таковыми и не обладать. [c.220] Если р — набор полей (ф1. ф ), то очевидно, что i (Р) — класс эквивалентности, содержащий одночлен ф1. ф г. [c.220] Вернуться к основной статье