ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преобразования Лапласа и голоморфные функции из "РСТ, спин и статистика и все такое " Имеются два важных и связанных между собой принципа, управляющих поведением голоморфных функций одного переменного, которые справедливы также для голоморфных функций нескольких комплексных переменных аналитическое продолжение и определение функции по ее значениям в вещественной области. Согласно первому область голоморфной функции мояшо продолжить единственным образом, рассматривая последовательности перекрывающихся полидисков. Конечно, вообще говоря, две разные последовательности перекрывающихся дисков приведут к разным значениям в одной и той же точке С , поэтому приходится вводить риманову поверхность для функция, чтобы восстановить ее однозначность. В этом не возникнет необходимости ни в одном из приложений, которые мы имеем в виду. Второй принцип возникает из того факта, что все коэффициенты степенного ряда для голоморфной функции могут быть получены с помощью вычисления производных в (2-57) в направлении действительной оси. Таким образом, голоморфная функция определяется в полной комплексной окрестности какой-нибудь точки С по ее значениям в вещественной окрестности, т. е. на открытом множестве К , получаемом в результате изменения только действительных частей комплексных переменных. [c.75] Шесть параметров 2oi, 2ог, 2оз, 2i2, Sia, 2гз произвольны и вещественны для и произвольны и комплексны для Ь+ С), поэтому их можно взять за Ai. Ae, если только рассматривать достаточно малую окрестность тождественного элемента. [c.76] НОГО переменного это так обобщение на случай п переменных будет получено в теореме 2-17. [c.77] Имеется один полезный критерий голоморфности функции нескольких переменных, который нам неоднократно пригодится в дальнейшем. [c.77] Пусть Р — функция, определенная в некотором открытом множестве Ъ из С . Для голоморфности функции Р необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна по всем переменным вместе п голоморфна по каждому переменному в отдольгтостп. [c.77] Но fw 3) О), так что из сходимости в 3)(0) следует сходимость / й. ..,1Рп) в каждой точке ы 1, е О. [c.79] так как при изменении го1.гоп в достаточно малом компактном множестве К / , принимает значения из ограниченного множества в 25(0), то сходимость будет равномерной на К. Предельная функция Р поэтому голоморфна. Это завершает напш общие замечания о голоморфных функциях. Обратимся теперь к определению и свойствам преобразования Лапласа. [c.79] Соглашение о знаках в преобразовании Фурье, которым мы здесь воспользовались, приводит в экспоненте к — щ, а не к Ц-гт). Это — результат наших усилий придерживаться обычных физических обозначений, принятых в главах 3 и 4. Чтобы это определение имело смысл, носитель Т не обязан обладать какими-то специальными свойствами. Например, если Г(р)= ехр(— рр), то преобразование Лапласа наверняка существует при всех т]. Таким образом, мы имеем дело с тем, что иногда называют двусторонним преобразованием Лапласа, для которого одностороннее преобразование (2-53) — частный случай. [c.79] Первый факт относительно значений т], для которых 5 (Т) существует, дается теоремой 2-5. [c.79] Пусть Т — обобщенная функция из 25 р. Множество всех т) таких, что принадлежит р, выпукло. [c.80] Теорема 2-5 показывает, что определение (2-62) преобразования Лапласа ассоциирует с каждым Г е 25 выпуклое множество значений т) (возможно пустое ), для которых преобразование Лапласа существует. Возьмем теперь данное множество Г значений т) и посмотрим, какие обобщенные функции Т могут иметь преобразования Лапласа, определенные для л Г. [c.80] Обратно, любая функция, голоморфная в трубе Я — гГ и удовлетворяющая (2-65) с некоторым полиномом Рк для любого компактного подмножества К из Г, есть преобразование Лапласа однозначно определяемой обобщенной функции Т 3) р такой, что е Р Т е Х р для всех Т1 е Г. [c.81] Первый растет как еУ вдоль мнимой оси, когда у- оо, тогда как второй растет как у 1 при у 0. [c.81] МЫ выражаем левую часть в виде линейной комоинацин элементов р, а именно, произведений квадратных скобок на бесконечно дифференцируемую функцию р, все производные которой по р ограничены, а производные ко т] ограничены полиномиально. Этого уже хватает, чтобы показать, что преобразование Фурье функции ехр(—р-г])Т есть обобщенная функция в 8 р, ди ерен-цируемая по т) но чтобы убедиться, что это — функция, нужны утверждения более сильные, чем (2-69). [c.83] Займемся теперь дальнейшими ограничениями на голоморфные функции Х Т), проистекающими из требований, чтобы носитель Т лежал в конусе и чтобы Т было умеренного роста. [c.86] Преобразования Лапласа обобщенных функций с носителем Б полупространстве обладают свойствами ограниченности более сильными, чем (2-72). Хотя это можно доказать для труб общего вида, особенно изящное доказательство получается для i я, так что мы сосредоточим свое внимание на этом случае. [c.88] Обратно, предположим, что функция F голоморфна в R4n — г = S п. и ограничена по (2-78). Тогда она наверняка удовлетворяет (2-72) и, значит, является преобразованием Лапласа обобщенной функции Т 3) такой, что е-р- Т е S p для всех т) е Г. Остается показать, что носитель Т лежит внутри Г. [c.89] Уже на примере (2-67) видно, что голоморфная функция, являющаяся преобразованием Лапласа, не обязана обладать граничным значением даже в смысле теории обобщенных функций. Но если это — преобразование Лапласа обобщенной функции умеренного роста Т, то граничным значением будет преобразование Фурье от Т. [c.90] Вернуться к основной статье