ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегральные преобразования из "Нестационарные упругие волны " Большинство методов решения уравнений в частных производных основано на приведении их тем или иным путем к некоторой совокупности обыкновенных дифференциальных или алгебраических уравнений. Среди таких методов одним из наиболее важных для линейной теории является метод Фурье разделения переменных и его обобщение — интегральные преобразования, которым и посвящена данная глава. [c.44] Материал, приводимый ниже, по-видимому, достаточен для первого ознакомления с предметом, для чтения данной книги и для того, чтобы на его основе можно было приступить к практической работе. [c.44] Основное внимание здесь уделяется выяснению возможностей методов и особенностей их применения при решении динамических задач. Хотя почти вся книга может служить иллюстрацией применения интегральных преобразований для решения динамических задач, некоторые простые примеры, на которых разъясняются методы, приведены и в данной главе. По рассматриваемым в этой главе вопросам существует обширная литература, в частности [9 11 13 14 16—18 24 25 30 35—38 42 45 53 55 69 83 84 92 105 115]. [c.44] В точках, где и (х) непрерывна. Однако функция R, с помощью которой осуществляется представление (7.4), вообще говоря, не обязана быть равной нулю при х 4= I. Ограничим класс функций и (х). [c.45] Но по условию коэффициенты при интегралах (7.10) ограничены, а сами интегралы стремятся к нулю при N оо. Отсюда Ф 0. По тем же причинам интеграл по участку (—Л, х — е) также стремится к нулю при — оо. Интегралы по участкам 111 Л в силу абсолютной интегрируемости и и ограниченности могут быть сделаны произвольно малыми при достаточно большом значении Л. Далее, представляя на интервалах х — 8, х) и (х, х + 8) функцию и разностью двух монотонных функций и используя, как и выше, вторую теорему о среднем, с учетом условий (7.7) и наличия левого и правого пределов и придем к равенству (7.8). Действительно, например. [c.46] Но при достаточно малом значении 8 коэффициенты при интегралах в полученной сумме (7.11) будут как угодно малы (из суш,ествования предела для и следует существование предела и для V [и], так как и — функция с ограниченным изменением [13]), поэтому ввиду ограниченности интегралов и сумма может быть сделана как угодно малой. [c.46] Так как величина N произвольна, можно утверждать, что функция является решением поставленной задачи при всех значениях л . [c.47] Основную роль при исследовании рассматриваемых ниже задач играет преобразование Фурье и некоторые его модификации (преобразования Лапласа, Ханкеля) и соответствующие этим преобразованиям ряды, которые также можно рассматривать как (дискретные) формулы обращения для интегральных преобразований с конечными пределами. [c.48] Приведем некоторые сведения об указанных преобразованиях. [c.48] Вернуться к основной статье