ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Малые колебания натянутой струны из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Следует также отметить, что если предполагать, как обычно, справедливость закона Гука, то эти уравнения и результаты будут уже не приближенными, а вполне точными, даже когда х — х не мало ). [c.468] Иногда бывает более удобно в качестве первой из этих функций взять либо / х — Ш), либо —/ (х — а/). [c.469] Потому что форма отклоненной струны будет сама давать геометрическое место точек Я. [c.470] Пусть точка С, первоначально находившаяся в произвольном положении, движется вдоль оси АВ так, что а/ — л , где л — абсцисса точки С, постоянно и равно с. Поэтому скорость точки постоянна и равна а. Поскольку смещение точки струны, совпадающей в некоторый момент с точкой С, равно / (с), то смещение точки С всегда остается одним и тем же. Далее, если в начале С совпадает с основанием отрезка данной длины, то она всегда будет совпадать с основанием отрезка той же самой длины. Иначе говоря, каждый отрезок геометрического места точек непрерывно движется в положительном направлепии со скоростью, равной скорости точки С, не изменяя при этом своей длины. Геометрическое место перемещается вдоль осн, подобно тому как волна пере.мещается по поверхности воды. [c.470] Отсюда заключаем, что уравнение X [ (а1 — х) описывает волнообразное движение, распространяющееся в положительном направлении с постоянной скоростью, равной а, без изменения формы. Точно так же уравнение X / (а1 - - х) описывает волновое движение, распространяющееся со скоростью, равной —а. Такая волна перемещается в отрицательном направлении оси. [c.470] В случае струны скорость каждой из этих двух волн равна (Е/т) -, еслн систему координат связать со струной в ее ненапряженном состоянии. Если же система координат связана с равновесной формой струны, то скорость каждой из двух волн будет равна ЕГ т 1) . Короче говоря, скорость такова, что время распространения волны по длине I ненапряженной струны или по длине Г растянутой струны равно I (т Еу1 . Следует отметить, что это время не зависит ни от природы возмущений, ни от натяжения струны. [c.470] Отдельньш волны. Можно предположить также, что начальное возмущение сообщается только части ЕЕ всей струны, а остальная часть находится в невозмущенном состоянии. Из рассмотрения аргумента следует, что такое возмущение можно заменить двумя начальными возмущениями, которые также сообщаются только части ЕЕ. Для одного нз этих возмущений крайние точки Е, Е (подобные точке С) будут перемещаться с равными скоростями в одном направленни, а для другого возмущения перемещения точек Е, Е будут совершаться в противоположном направлении при этом 15 каждом из случаев длина ЕЕ остается неизменной. Таким образом, начальное возмущение разделяется на две отдельные волны, при этом струна находится в невозмущенном состоянии непосредственно перед и позади каждой волны. [c.470] Этн уравнения совпадают с уравнениями (1) и (2) п. 612, н поэтому при малых возмущениях продольное движение струны не зависит от ее поперечного движения. [c.472] В завнсимостн от того, связана ли система коордннат с формой струны в ее ненапряженном или напряженном состоянии. Третье уравнение можно получить тем же самым путем. [c.472] Скорость поперечных колебаний, измеренная в единицах длины растянутой струны, равна (Т т ) 1 -. Время прохождения волной длины I ненапряженной струны или длины I напряженной струны) равно (mil 1Т1)У/ . Эта скорость не зависит от природы возмущений, однако зависит от напряженности или натяжения струны. [c.472] Если движение струны происходит без заметных продольных колебаний, то имеет второй порядок малости, и поскольку подстановка дз /дх делается в правую часть ураипепия (2), которое уже содержит малую величниу dy /ds , то дифференциальное уравнение (6) будет корректно, если кубами малых величин можно пренебречь. Однако если струпа одновременно совершает продольные н поперечные колебания, то имеет первый порядок малости, н поэтому поперечные и продольные колебания будут независимы только тогда, когда квадратами малых величин можно пренебречь. [c.473] Имеем две системы условий 1/ — ф (л ) и dy/di - ср (х) при i = О для всех значений х, лежапщх между значениями х — О и х = I кроме того, у = О прн X = О и X — I для всех положительных и отрицательных значений t. [c.473] Из четвертого условия следует, что F (at — I) = F at - - /), и поэтому / (z) не изменяется прн увеличении или уменьшении г на 2/. [c.473] Эти два уравнения определяют F х) и F —х) для всех значеннй х, лежащих между значениями х = О i х I. Отсюда следует, что функция F (г) определена для значеннй г от г = —/ до z I, н ее значения повторяются при изменении Z на 2/. [c.473] Все эти значения F (г) имеют одну и ту же постоянную интегрирования с, по при подстановке F (г) в приведенное выше уравнение для у эта постоянная выпадает. [c.473] Вернуться к основной статье