ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Три типа решений из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Для того чтобы ответы на эти вопросы сделать понятными, необходимо привести некоторые результаты, которые относятся скорее к теории дифференциальных уравнений, чем к динамике. Поэтому обсуждение первого вопроса начнем в и. 268 со ссылкой иа предшествующий материал. Второй вопрос будет рассмотрен в п. 257. [c.238] Это уравнение служит для нахождения V как функции от I. Поскольку в детерминант б входит в четвертой степепи, то искомое выражение для V будет содержать четыре произвольные постоянные. Затем х и у находятся по приведенным выше формулам. Можно отметить, что для этого требуется только выполнение операций дифференцирования. Таким образом, сколь бы сложной ии была функция V, выражения для х у легко находятся. [c.239] Это выражение искомой функции V принимает различные формы в зависимости от того, имеет ли уравненне четвертой степени комплексные нли равные корни. Они описаны в теории дифференциальных уравнений п будут приведены в п. 264. [c.239] Индекс у буквы / указывает номер столбца, где находится тот элемент опущенного уравнения, которому соответствует искомый минор. [c.240] Все эти операторы /j (б), /2 (б),. .. представляют собой целые и рациональные функции от 6, так что если V известно, то все другие необходимые для полного решения уравнений операции приводятся только к операциям последовательного дифференцирования. [c.240] Особенностью случая равных корней является наличие членов, содержащих множителем I в некоторых степенях. Вообще говоря, случай а равных корней указывает на наличие членов, содержащих все целые степени от 1 до а — 1. [c.241] Поэтому для применения оператора F (б) представим его в виде ф (б ) - -Ч- 6il) (б ) тогда F (б) sin mt = ip (—т ) sin т/ + ij) (—tn ) т os mt. [c.241] Однако сразу видно, что существует особый случай. Если одни из корней уравнения Л (б) О обращает в нуль все мииоры (т), 1-1 (т),. .., то решение становится неполным, потому что одна из постоянных, например выпадает из решения. Если обран1аются в нуль псе миноры только одной строки, то можно было бы найти выражения для х, у,. .., выбирая в качестве наших операторов Миноры некоторой другой строки. Однако этого нельзя сделать, если все миноры всех строк обращаются в нуль. [c.242] Допустим, что детерминант Д (б) имеет корень т кратности а. Пусть каждый из миноров (п — 1)-го порядка детерминанта Д (б) имеет корень т кратности Р, каждый из. ииноров (п — 2)-го порядка имеет корень т кратности у и т. д. Требуется установить общий вид решения и найти а произвольных постоянных в этом решении. [c.242] Еслн все миноры (п — 1)-го порядка имеют корень кратности а, а все миноры (п — 2)-го порядка — корень кратности Р, то из п. 270 известно, что число а — р — 1 не может быть отрицательным. [c.243] Отметим также, что этим уравнениям удовлетворяет каждое слагаемое в выражениях для г, и,. .., зависягцее только от х или только от у. Поэтому можно построить решение, найдя по отдельности эти две части и затем сложив результаты. Этот способ оказывается удобным на практике. [c.243] Очевидно, они удовлетворяют все.м уравнениям, кроме одного отброшенного уравнения. Однако это уравнение также удовлетворяется, потому что по предположению мы берем только те части решений, которые обращают в нуль все миноры (п — 1)-го порядка. [c.243] Особенность решений (получаемых из решений 1] второго типа) состоит в том, что соответствующие члены выражений для х п у имеют независимые произвольные посто.чнные. [c.244] Если все миноры (п — 2)-го порядка, которые служат операторами, отличны от нуля, то этн формулы содержат t в степенях от 1 до Р — 1 и имеют 2Р произвольных постоянных. Однако если эти миноры имеют у корней, равных т, то наибольшей степенью t будет только Р — 7 — 1, и поэтому не будет найдено полное число произвольных постоянных. [c.244] Все эти выражения, очевидно, содержатся среди членов, порождаемых функциями Л при помощи миноров п — 2)-го порядка. Соответствующие члены в г, и,. .. должны быть связаны с членами в х, у,. .. формулами, приведеннымн в п. 273, и поэтому также содержатся среди выражений, получаемых из , т . Рассмотрим, наконец, решение, порождаемое членами от гр До а-1-Они содержат степени от Р до а — 1 — р. Эти а — 2Р членов не содержатся среди членов, получаемых из и т), и они дают дополнительно а — 2р произвольных постоянных. [c.245] Далее обратим наше внимание на решение, порождаемое решением Т1 второго типа при помощи миноров (п — 2)-го порядка (пп. 273 и 274). Каждый из этих мииоров имеет у корней, равных т поэтому из приведенных выше рас-суждений заключаем, что первые 7 членов в выражениях для х к у равны нулю, а наивысшей степенью I является Р— 1—7 вместо Р— 1. Следовательно, члены, порождаемые решением V первого типа и отсутствующие среди членов, порождаемых решениями второго типа Т1, содержат теперь степени / от Р — 7 до а — 1 — р. Поэтому число таких членов равно а — 2р + 7 вместо а — 2Р. [c.245] Такие же рассуждения применимы ко всем другим частным решениям, порождаемым решениями третьего, четвертого и т. д. типов. Отсюда мы заключаем, что частное решение, получаемое из решения первого типа с использованием дополнительных миноров элементов первой строки фундаментального определителя, содержит а — 2Р + у членов, не входящих в решения, порождаемые решениями последующих типов. Они дают столько же произвольных постоянных. Частное решение, порождаемое решением второго типа с использованием дополнительных вторых миноров для миноров, составленных из элементов двух первых строк фундаментального определителя, содержат Р — 27 -Ь б членов, не входящих в решения последующих типов. Они дают вдвое бо.пьшее число произвольных постоянных. Частное решение, выводимое из решения третьего типа с использование.и миноров (п — 3)-го порядка, в которых отсутствуют элементы трех первых строк, содержит у — 26 + е членов и втрое большее число постоянных и т. д. [c.245] Еслн ни один из членов этого выражения пе отрицателен, то мы получаем ряд частных решений, содержащих необходимое число постоянных. Этот вопрос мы сейчас и рассмотрим. [c.245] Точно так же можно показать при аналогичных предположениях, что Р — 27 -Ь 6 — положительное число и т. д. [c.245] Решение первого типа имеет вид = (...-Ь А ) (п. 264). Беря дополнительные миноры для элементов первой строки определителя А (б), на основе п. 262 имеем с = — (б — 1) , г/ = — (б — 1) . г = б (б — 1) . [c.246] Вернуться к основной статье