ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение по поверхности вращения. Параболоид из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Этот результат вытекает также из примера 2 п. 21. [c.193] Многие результаты этого раздела выводятся нз уравнений (4) н (7). Эти же результаты можно получить, очевидно, по-другому, выписывая уравнения (1), (2), (3) и т. д. (из которых п были выведены (4) и (7)) с учетом тех упроп1,ений, которые присущи рассматриваемой задаче. Пример такой процедуры см. в п, 221. [c.194] При помощи геометрических соображений можно показать, что это уравнение идентично уравнению (7). [c.194] Шар покипет поверхность, когда R сменит знак. Обычно это происходит, когда скорость центра шара U = ipZ. [c.195] Пример 2. При условии, что ш,, = О, центр шара начинает двигаться вдоль липни кривизны. Показать, что он будет описывать линию кривизны при условии, что компонента силы, трансверсальная линии кривизны и касательная к поверхности равиа семи пятым касательной к поверхности компоненты центробежной СИЛ1.1, вычисленной при условии, что вся масса шара сосредоточена в его центре. [c.195] Показать также, что траектория центра будет геодезической только в том случае, если окажется плоской кривой. [c.195] Пример 2. Пусть шероховатая плоскость, по которой катится шар, вращается с постоянной угловой скоростью 2 вокруг перпендикулярной оси, проходящей через некоторую точку О. Доказать, что движение центра шара в пространстве будет совпадать с движением точки единичной массы по гладкой плоскости под действием приложенных к шару сил, уменьшенных в отношении пять седьмых, в сумме с дополнительной силой, действующей перпендикулярно к траектории и равной где [/ — абсолютная величина скорости центра шара. [c.195] Если направление вращения плоскости происходит по часовой стрелке, то эта дополнительная сила действует в правую сторону от касательной для наблюдателя, смотрящего нз центра шара в направлении движения. [c.196] Если шар ые имеет начальной угловой скорости вокруг нормали к поверхности, то п = О и добавочная сила равна нулю. Следовательно, если однородный шар катится по абсолютно шероховатой сферической поверхности, и если шар либо движется из состояния покоя, либо проекция его начальной угловой скорости па общую нормаль равна пулю, то движение центра шара будет таки.м же, как если бы неподвижная сферическая поверхность была гладкой, а действующие на шар силы составляли пять седь.мых первоначальной величины. [c.197] Следует отметить, что уравнения (1) и (111) для движения шара под действие. снлы тяжести совпадают с уравнениями (6) п. 201, относящимися к движению волчка. Таким образом, результаты п. 201 применимы также к движению шара. Если шар не соскочит с неподвижной сферы, то оп будет ее обкатывать, колеблясь между двумя горизонтальными уровнями. Для того чтобы шар не покинул сферу, необходимо, чтобы значение os 0, найденное из уравнения R О, не попадало между граничными уровнями. Более подробно этн результаты освещены в приведенных примерах. [c.197] Предполагается, что начальная угловая скорость настолько велика, что корень последнего уравнения лежит вне упомянутых только что границ для 0. [c.197] Так как доказательства для неподвижной и подвижной опорных сфер ночтн те же самые, то сформулируем только результаты (как в данном ннже примере), предоставляя доказательства читателю. [c.197] Здесь с — радиус сферы, диаметр которой 0Z неподвижен, О — угол наклона общей нормали 0G к оси 02 и ось GA лежнт в плоскости ZOG. [c.198] Пример 1. Шар радиуса а катится по опорной сфере радиуса с, вращающейся вокруг неподвижного диаметра с постоянной угловой скоростью II. Пусть 0, lj) — угловые координаты общей нормали 00. [c.198] Из этих результатов вытекает, что уравнения (I), (1П) и (IV) из п. 223 имеют место и тогда, когда опорная сфера вращается равномерно вокруг вертикального диаметра. [c.198] Пример 2. Шар радиусом а и массой т катится по опорному шару радиусом с и массой М, который свободно вращается вокруг своего центра как неподвижной точки. Пусть Qj, Q3 — компоненты угловой скорости опорного шара, u)i, (u , щ — компоненты угловой скорости катящегося шара в осях, описанных в п. 215. [c.198] Пример 3. Абсолютно шероховатая сфера радиусом с вращается вокруг неподвижного вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью п. Однородный шар радиусом а поставлен на нее в точке, находящейся на расстоянии са от полюса. Изучить движение и определить угловую скорость шара. [c.198] Второе нз них задает движение в направлении, трансверсальном к образующим, и если величина Y одна и та же иа каждой отдельной образующей, то это уравнение может быть решено независимо от двух других. При одинаковых начальных условиях движение центра шара в трансверсальном направлении будет таким же, как и у центра гладкого шара, скользящего вдоль трамсверсальиого сечения цилиндра нод действием тех же сил, только уменьшенных в пропорции аУ а Н- k ). [c.199] Подставляя это значение и, получаем два уравнения для определения и ащ как функций ф. Одним из интегралов здесь является соотношение (8) нз п. 217, которое было выведено из теоремы живых сил. [c.199] Вернуться к основной статье