ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение в случае G2 ВТ из "Динамика системы твердых тел Т.2 " Опишем сферу единичного радиуса с центром в неподвижной точке (рис. 19). [c.137] Если начальные условия таковы, что G — ВТ (см. п. 138), то средняя ось инерции вращается вокруг неизменяемой прямой с постоянной угловой скоростью, равной Т/О. [c.137] Если рассматриваемая ось является осью среднего момента инерции, то величина os а должна находиться вне интервала, ограиичеииого найденными выше пределами. Оба эти предела положительны, причем один больше, а другой меньше единицы. Поэтому траектория будет лежать между двумя параллелями, отстоящими на одинаковый угол от экваториальной плоскости. [c.138] Но это соотношение, подставленное в уравнение (4), обращает сумму двух неотрицательных чисел в нуль. Следовательно, величина dk/dt всегда сохраняет свой знак. Еслн начальные условия таковы, что величина G /T меньше, чем момент инерции тела относительно рассматриваемой оси, то угловая скорость этой оси будет наибольшей, когда рассматриваемая ось ближе всего к неизменяемой прямой, и наименьн/ей, когда эта ось дальше всего от неизменяемой прямой. Если величина G lT больше соответствующего момента инерцин, получается противоположный результат. [c.138] Пример 2. Отложим три отрезка ОА, ОВ, ОС равной длины по главным осям инерции для точки О и обозначим через Л, В, С проекции точек А, В, С на неизменяемую плоскость. Показать, что сумма площадей, описываемых радиусами-векторами ОА, OB, ОС пропорциональна времени. [c.139] Пример 3. Отложим по соответствующим осям отрезки ОА, ОВ, ОС, пропорциональные длинам полуосей гирационного эллипсоида, и обозначим через Л, В, С проекции точек Л, 5, С на неизменяемую плоскость. Показать, что сумма площадей, описываемых радиусами-векторами ОА, OB, ОС, также пропорциональна времени (Пуаисо). [c.139] Пример 4. Однородный эллипсоид, квадраты полуосей которого равны с , Зс , 5 2, приведен во вращение относительно диаметра, лежащего в плоскости большой или малой полуосей и составляющего с большой полуосью угол, котангенс которого равен J/T. Найтн в начальный момент времеии направляющие косинусы неизменяемой прямой относительно осей эллипсоида и показать, что проекция угловой скорости вращения средней оси па неизменяемую прямую постоянна во все время движения. [c.139] Угол i известен из начальных условий, угол у можно найти по одной из приведенных формул. В этом случае движение будет иметь следующие особенности. [c.140] Так как угловая скорость тела, вращающегося вокруг мгновенной оси, пропорциональна длине соответствующего радиуса-вектора эллипсоида вращения, то она постоянна. [c.140] Если в качестве рассматриваемого тела взята Земля, то эллипсоид инерции сплюснут, и у i. В этом случае Q — положительная величина, и направления вращения мгновенной оси вокруг оси эллипсоида инерции и Земли вокруг своей оси совпадают. [c.141] Направление движения оси 01 вокруг прямой ОС также можно определить из теоремы о том, что конус, описываемый осью 01 в теле, должен катиться ио конусу, описываемому осью 01 в пространстве. Из рис. 20 и 21 следует, что движение оси 01 происходит в противоположном или в том же самом направлении, что и вращение тела с угловой скоростью со в зависимости от того, является эллипсоид вра1цения тела вытянутым или сплюснутым. [c.141] Следовательно, отношение угловой скорости вращения плоскости LO вокруг прямой ОС (т. е. Q ) к угловой скорости вращения тела вокруг этой же самой оси т. е. со os ) не зависит от начальных условий и равно (С — А) А. [c.141] Так как в этих уравнениях знак г х совпадает со знаком (йд/со , то верхний или нижний знак перед корнем берут в зависимости от того, имеют начальные значения щ и соз одинаковые или разные знаки. Эти плоскости проходят через среднюю ось и не зависят от начальных значений, за исключением условия 0 — ВТ. [c.143] Катящийся и скользящий конус является взаимным конусу, образованному неизменяемой прямой (см. п. 172). Поэтому при 0 = ВТ он переходит в прямую, перпендикулярную к плоскости, которую образует неизменяемая прямая. [c.143] Эта величина равна введенной в п. 184 величине п. [c.144] Так же, как и в п. 163, направление движения точки L перпендикулярно к дуге IL и, следовательно, угол ILB прямой. Таким образом, в сферическом треугольнике ILB один угол прямой, а другой — постоянный и не зависящий от начальных условий. [c.144] Этот результат следует также из п. 184 при условии, что os Р = = ВщЮ. [c.145] Пусть точка Е будет точкой пересечения эксцентрической прямой со сферой. Показать, что дуги ВЕ н BL всегда равны. [c.145] Вернуться к основной статье