ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Цилиндр устойчивости. Период колебаний из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Всякая кривая второго порядка, лежащая в касательной плоскости, имеющая центр в точке О, подобная и подобно расположенная по отношению к указанной кривой второго порядка,, называется относительной индикатрисой двух поверхностей. [c.427] Пусть 07 — касательная к дуге кривой на поверхности катящегося тела, вычерчиваемой точкой соприкосновения с неподвижной поверхностью и определяемой геометрическими связями, наложенными на тело. Обозначим через р, р радиусы кривизны нормальных сечений плоскостью, проходящей через эти величины будем считать положительными, если центры кривизн нормальных сечений лежат по разные стороны от их общей касательной в точке О. Положим i/s = 1/р + 1/р. Тогда величину s можно назвать радиусом относительной кривизны. [c.428] В динамике используются следующие три понятия. [c.428] Для доказательства отложим на поверхностях в плоскости уг две дуги ОР и ОР, каждая длиной а. Тогда в пределе отрезок прямой РР будет параллелен нормали Ог. Пусть этот отрезок пересекает плоскость ху в точке М. Проведем отрезок прямой QQ N, параллельный отрезку Р РМ и бесконечно близко расположенный к нему, так что РР — QQ. Тогда MN представляет собой элементарную дугу относительной индикатрисы, проходящую через точку М, и, следовательно, эта дуга параллельна отрезку прямой 01, являющемуся сопряженным диаметром по отношению к отрезку прямой ОМ. Кроме того, фигура PQP Q — параллелограмм. [c.428] Плоскости OPQ, OP Q суть касательные плоскости к поверхностям в точках Р R Р и должны пересекаться по прямой 0J, параллельной отрезку PQ или P Q. Еслн теперь повернуть тело вокруг 0J, то эти касательные плоскости совпадут и одно тело б дет катиться по поверхности другого. Поэтому 0J — мгновенная ось вращения тела. [c.428] поскольку отрезок прямой MN служит проекцией на плоскость отрезка PQ или P Q, то отсюда следует, что прямая О/, параллельная отрезку MN, является проекцией прямой 0J, параллельной PQ или P Q. Кроме того, параллельные отрезки PQ и P Q, являясь касательными к поверхностям, образуют бесконечно малые углы с плоскостью ху, и поэтому прямая 0J образует с прямой 01 такой же бесконечно малый угол. Если этот малый угол обозначить через ф, а через 9 обозначить угол поворота тела вокруг оси 0J, то движение тела можно представить двумя вращениями на угол О sin ф вокруг оси Ог и на угол 9 eos ф вокруг оси 01. Так как 9 — бесконечно малый угол, то первое вращение тела имеет второй порядок малости и им можно пренебречь. Второе вращение тела приводится к его вращению на угол 9. [c.428] Эти результаты следуют из приведенного в следующем пункте-второго выражения для момента силы тяжести тела относительно-оси 01. [c.429] Отсюда заключаем, что период колебаний тела совпадает с его периодом колебаний в случае, когда неподвижная поверхность является плоскостью, а кривизна поверхности верхнего тела в точке соприкосновения с неподвижной поверхностью изменена так, что относительная индикатриса остается той же самой, что и прежде. [c.429] Заменим теперь выражение sin WP/ os KPz эквивалентным ему выражением os WPz. С точностью до малых величин, пропорциональных 9, можно опустить штрихи и заменить буквы Р и IF буквами О и G. Отсюда сразу следует первая из искомых формул. [c.430] Периоды колебаний можно найти также с помощью теоремы живых сил. [c.430] Вернуться к основной статье