ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод подобия. Модели из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Все члены в последней строке исчезают в силу отмеченного выше свойства. Первый член в первой строке равен живой силе всей массы 2т, сосредоточенной в центре тяжести. Второй член равен живой силе вращательного движения тела вокруг центра тяжести. [c.308] Выражение живой силы может быть представлено в более удобной форме. [c.308] Рассмотрим теперь пространственное движение тела. Пусть V — скорость центра тяжести, г, 0, ф — сферические координаты 11,ентра тяжести тела относительно какого-нибудь полюса, со , г/, — составляющие угловой скорости тела относительно каких-нибудь трех ортогональных, проходящих через С осей, и пусть А, В, С — моменты инерции тела и Е, 1, С — координаты частицы т относительно тех же осей. [c.309] Живую силу тела в случае вращения вокруг точки G можно найти и другим способом. Пусть Q — угловая скорость вращения вокруг мгновенной оси и / — момент инерции относительно этой оси. Живая сила тогда равна В нашем случае будем иметь (Oj = Qa, Wj = Q , (03=07 в обозначениях п. 15, где определен также момент инерции I. Исключая а, , 7, получим тот же результат, что и раньше. [c.310] Этот результат часто используется в дальнейшем. [c.310] Пусть Мит — массы кольца и бусинки, со — их общая угловая скорость вращения вокруг вертикали. Пусть а — радиус кольца, МкР — его момент инерции относительно диаметра. Центр кольца примем за полюс полярной системы координат, а полярную ось у направим вертикально вниз. Пусть 0 — угол, который ось у составляет с радиусом, проведенным из центра кольца до бусинки. [c.311] Этих двух уравнений достаточно, чтобы определить 0 и со. [c.311] Пример 5. Однородная тонкая гладкая трубка горизонтально уравновешена около ее средней точки, предполагаемой неподвижной. Свободно входящий в трубку однородный стержень подводится к ней в одну линию конец в конец . Далее стержень посылается внутрь трубки с такой начальной горизонтальной скоростью, при которой его средняя точка достигает только средней точки трубки. Предполагая эту скорость известной, найти угловую скорость трубки и стержня в момент совпадения их средних точек. [c.312] Пример 8. Гладкая твердая полусфера положена своим основанием на гладкий горизонтальный стол. В точке ее поверхности, где нормаль составляет с вертикалью угол а, на полусферу опирается своим нижним концом вертикальный стержень одинаковой с ней массы. Стержень установлен в гладких направляющих и может перемещаться только вертикально. Показать, что если полусферу отпустить, предоставив ей возможность двигаться, то она достигнет скорости 2/с) У6ag os а, где а — радиус полл сферы. [c.312] Если на модель действуют еще какие-нибудь силы, кроме сил тяжести, то для того, чтобы модель была подобна машине, эти силы должны находиться в том же отношении к соответствующим силам в машине, что и силы тяжести. При изготовлении деталей из одного и того же материала их вес изменяется пропорционально кубам линейных размеров. Поэтому приложенные силы также должны меняться проиорциональио кубам линейных размеров. [c.314] Например, в случае модели паровой машины сила давления пара на поршень равна произведению площади поршня на давление пара на единицу площади. Следовательно, давление пара на единицу площади должно быть пропорционально линейным размерам модели. [c.315] Предполагая, что приложенные силы в двух системах имеют надлежащее отношение, и составляя уравнения движения, легко видеть, что взаимные реакции частей системы сами собой окажутся в таком же отношении. Поясним сказанное на простом примере, рассмотренном в п. 162. Уравнение (1) показывает, что как реакция R, так и трение скольжения iR изменяются пропорционально произведению массы на линейный размер, деленному на квадрат времени. Из п. 161 следует, что сила трения F изменяется по тому же закону. Однако иначе обстоит дело с парой трения качения и вызываемой ею силой трения качения (см. п. 163). Момент этой пары равен fmg, где f — линейная величина, которая зависит от используемого материала и не изменяется с изменением размеров системы. Отношение этой пары к mk Q изменяется обратно пропорционально линейным размерам тела и в модели оказывается больше, чем в машине. Обычно трение качения мало, и им пренебрегают (п. 153). Однако при необходимости его учета его наличие в уравнениях движения приводит для ряда других реакций к отклонению от закона подобия. [c.315] Если сопротивление воздуха принять пропорциональным произведению площади и квадрата скорости набегающего потока, то отношение сил сопротивления в модели и в машине будет иметь значение, согласованное с отношениями других механических величин. [c.315] Пример 2. Рассмотрим движение точки по орбите вокруг центра сил, притяжение которого равно постоянной fi, деленной на квадрат расстояния. Метод Подобия показывает, что квадрат периода обращения точки должен изменяться прямопропорционально кубу расстояния и обратно пропорционально постоянной fi. Таким образом, мы получили третий закон Кеплера. [c.315] Пример 3. На оснований экспериментов на модели моста длиной 1,5 м и весом 3 кг требуется определить прогиб моста длиной 15 м и весом 100 т при прохождении по нему машины весом 20 т со скоростью 60 км в час. Найти вес модели машины Полагая, что центральный статический прогиб модели моста под грузом модели машины составляет одну десятую часть центрального статического прогиба моста под действием машины, показать, что скорость модели машины должна быть 5,56, м/с. [c.315] Вернуться к основной статье