ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Работа сил давления газа из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Если нить ослабевает, то сила натяжения исчезает и работа не совершается до тех пор, пока нить не натянется снова. Если нить натянута в начальном и конечном положениях, то независимо от того, ослаблялась она в процессе изменения длины или нет, при применении указанного выше правила изменение длины нити вычисляется как разность между начальной и конечной длинами. Если нить ослаблена в одном из конечных положений, то при расчете изменение ее длины следует считать, что ее длина в этом положении равна нерастянутой длине I. [c.295] В случае стержня при его сжатии натяжение можно считать отрицательным, н правило остается применимым, пока стержень прямолинеен и справедлив закон Гука. [c.295] Если нить равномерно натянута по поверхности или заключена в тонкую трубку, то правило определения работы сохраняет силу и для непрямолинейной нити. Действительно, разделим нить на элементы, каждый из которых можно считать прямолинейным. Для равномерно растянутой нити работа равна произведению среднего натяжения на сумму изменений длин элементов. Последняя, очевидно, равна изменению длины всей нити. [c.295] Если поверхность неподвижна, длина нити не может изменяться без пе-ремеш,ения хотя бы одного из ее концов. В этом случае работа совершается силами натяжения на этом конце. [c.295] Если поверхность движется, а концы нити неподвижны в пространстве, то работа передается поверхности через реакции. [c.295] При отсутствии ускорений реакции находятся в равновесии с натяжениями Б точках Л и В, в которых нить сходит с поверхности. Пусть поверхности сообщено какое-нибудь малое перемещение. На основании принципа возможных перемещений работа реакций поверхности равна работе двух равных натяжений в точках А и В. Эта работа равна мгновенному натяжению, помноженному на уменьшение длины нити, — Г ф. Для конечного перемещения поверхности совершенная работа равна интегралу от этого выражения, и, разумеется, правило остается прежним. [c.295] Независимо от того, имеет нить массу или нет, каждый ее элемент можно рассматривать как одно из движущихся тел системы, для которой можно применить теорему живых сил. Работа, совершаемая при уменьшении всех элементов, должна вычисляться отдельно для каждого тела. Работа, совершаемая равными и противоположными реакциями между нитью и поверхностью, равна нулю. [c.295] Это следует из п. 338. Если точки отталкиваются, одну из масс т или т будем считать отрицательной. [c.295] Пример 2. Пусть два конечных тела с массами М и Л4 притягиваются друг к другу и занимают заданные положения. Мысленно удалим частицы первого тела на бесконечно большие расстояния от их первоначальных положений и друг от друга. Доказать, что работа, совершаемая при переносе частиц первого тела из бесконечности на свои старые места под действием притяжения второго тела, предполагаемого неподвижным, равна аналогичной работе, совершаемой при переносе частиц второго тела из бесконечности на свои места под действием первого. Доказать также, что эта работа может быть вычислена, если взять оба тела в их заданном положении, умножить массу каждого элемента одного тела на потенциал в этом элементе другого т ла и проинтегрировать по объему первого тела. Этот интеграл иногда называют взаимным потенциалом двух тел. [c.296] Задача определения работы, которая может быть получена при объединении всех тел Солнечной системы в одно тело, рассматривалась несколькими учеными. Томсон У. (Т Ь о т 5 о п Ш.) вычислил, что потенциальная энергия, которой обладает Солнечная система равна 4,6-10 кгм. [c.296] Пусть точки системы перемещаются на свои места последовательно одна за другой. Тогда полная работа равна сумме произведений массы каждой переносимой точки на потенциал в этой точке от уже сформированной части системы. Докажем, что тот же результат получится, если взять половину суммы произведений массы каждой точки на потенциал всей окончательно сформированной системы. [c.297] В это выражение /и входит в произведение с каждой из масс /И],. . [c.297] мы получили два правила вычисления работы по формированию системы из бесконечно удаленных точек 1) работа равна сумме дробей, числители которых равны попарным произведениям масс различных точек системы, а знаменатели — расстояниям между ними, 2) работа равна половине суммы произведений массы каждой точки на потенциал в этой точке от всех остальных точек. [c.297] Пример 6. Если данная система представляет собой сумму двух систем М и ТИ, то работа по формированию системы М 4-Л4 из бесконечно удаленных частиц равна сумме работ по формированию систем М и М отдельно друг от друга плюс взаимный потенциал М и М. [c.298] Если данная система представляет собой разность М — М двух систем М и М (вторая является частью первой), то работа по формированию системы Л4 — М равна сумме работ по формированию систем М и М отдельно друг от друга минус взаимный потенциал М и М. [c.298] Чтобы доказать первую из этих двух теорем, предположим, что системы М и М уже сформированы и вычислим работу, совершаемую при перемещении из бесконечности и присоединении к М дополнительного элемента массы с1М. Эта ра бота равиа сумме пабот сил притяжения элемента ёМ к системе тИ и к системе М Первая дополняет работу по формированию системы М до работы по формиро ванию системы М йМ, вторая дополняет работу сил взаимодействия (М, М ) до работы этих сил для системы (М 1М, М ) Из симметрии следует, что добавление к М элемента йМ также не нарушит утверждения теоремы. На основании этих рассуждений нетрудно сделать вывод о справедливости теоремы для любых двух систем М -а М . [c.298] Таким же образом можно доказать, что и вторая теорема не нарушится при последовательном добавлении к системам М и М элементов массы йМ и йМ Рассмотрение следующего простого частного случая укажет другой способ дока зательства второй теоремы. [c.298] Пример 2. Сферическая оболочка радиуса а заполнена газом под давлением Р. Предполагая, что давление газа на единицу площади обратно пропорционально занимаемому им объему, доказать, что работа, требуемая для уменьшения радиуса оболочки до Ь, равна Ака Р 1п (а/й). [c.299] Пример 4. Две различные упругие жидкости, заполняющие полый цилиндр и имеющие равные массы, разделены невесомым поршнем. В начальном положении давления жидкостей одинаковы и равны Р. Затем поршень перемещается в другое положение, при котором плотность первой жидкости становится равной начальной плотности второй, а плотность второй — начальной плотности первой Показать, что совершенная работа равна РА (а — Ь) 1п (а/й), где А — площадь поршня и а, 6 — длины частей цилиндра, занятых жидкостями в начальном положении. [c.299] Вернуться к основной статье