ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Живая сила из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Это следует из п 20, где показано, что результант уравнений не обращается в нуль. [c.270] Пример 2. Показать, что если тело подвержено действию конечного числа заданных импульсов, следующих друг за другом через бесконечно короткие интервалы времени, то конечное состояние движения не будет зависеть от их порядка. [c.270] Поскольку величины со , со , со известны, то можно найти давление на неподвижную точку. Так, согласно принципу Даламбера, изменение количества движения тела в каком-либо направлении равно проекции ударных сил на это направление. [c.271] Указанный результат следует из уравнений пп. 308 и 238. Здесь Я, fi, v — моменты единичной силы, действующей вдоль нити, относительно осей, а I, т, п — ее проекции. См для справок книгу автора Stati s, 1896, п. 260. [c.272] Пример 1. Показать, что ось вращения, возникающего в результате действия на тело пары ударных сил, есть диаметральная линия плоскости действия пары по отношению к эллипсоиду инерции. См. также п. 118. [c.273] Пример 2. Пусть G — модуль момента пары, р — длина перпендикуляра, опущенного из неподвижной точки на касательную плоскость к эллипсоиду инерции, параллельную плоскости действия пары. Пусть Q — угловая скорость, сообщенная телу, г — длина радиуса-вектора точки эллипсоида, лежащей на оси а К — параметр, введенный в п, 19. Доказать, что = prG. [c.273] Пример 3 Пусть Qx, у, — составляющие угловой скорости вращения тела по трем сопряженным диаметрам эллипсоида инерции для неподвижной точки, так что их результирующая есть угловая скорость вращения, сообщенная парой ударных сил G, а А, В, С — моменты инерции тела относительно этих сопряженных диаметров. Доказать, что Л йж = G os а, B Qy = G os P, Q = = G os y, где a, P, y — углы между осью G и сопряженными диаметрами. [c.273] Пример 4. Пусть на тело, свободно вращающееся вокруг неподвижной точки О, действует пара ударных сил G. Пусть ось пары пересекает гирационный эллипсоид, построенный в О, в точке с радиусом-вектором г, и пусть р — перпендикуляр, опущенный из О на касательную плоскость, проведенную через конец радиуса-вектора. Тогда ось вращения, сообщенного телу в результате удара, будет перпендикулярна р, а величина Q определяется соотношением G = MprQ. [c.273] Пример 5. Если на покоящееся тело действуют какие-либо ударные импульсы, то моменты относительно начальной оси вращения можно вычислять в соответствии с правилом, данным в п, 89, как если бы она была неподвижной осью. [c.273] Пример 6. При вращении тела вокруг неподвижной точки половина произведения момента инерции относительно мгновенной оси на квадрат угловой скорости представляет собой живую силу. Пусть живая сила, сообщенная ударным импульсом телу, находившемуся в состоянии покоя, равна Т, и пусть живая сила, сообщенная тем же самым импульсом, в случае, когда на тело наложена связь, позволяющая ему вращаться вокруг некоторой неподвижной оси, проходящей через неподвижную точку, есть Т. Доказать, что Т = Т os 0, где 0 — угол между эксцентрическими линиями двух осей вращения по отношению к эллипсоиду инерции в неподвижной точке. [c.273] Поскольку тело является свободным, его движение вокруг центра тяжести будет таким же, как если бы эта точка была неподвижной. Следовательно, если имеется какая-либо прямоугольная система координат с началом в центре тяжести, то угловые скорости тела по-прежнему могут быть найдены из уравнений (I) и (2) п. 306. [c.273] Если следовать обозначениям п. 306, то разности и — U, V— V, W — W могут быть обозначены через и, v, w. [c.274] Является ли это условие также и достаточным См. п 241. [c.274] Конус начнет катиться по пластине, которая может только вращаться вокруг своей оси, скажем оси г Пусть G — момент пары реакций, возникающих между конусом и пластиной, а осью пары является ось г. Пусть конус соприкасается с пластиной вдоль оси х. Составляя уравнения моментов для конуса относительно его главных осей ОС, ОА и для пластины относительно ее главной оси 0Z, получаем С — ш) = G sin а, Aa i = —G os а, I (Q — Q) = —G. Поскольку конус катится по пластине, имеем Шд sin а — os а = Q. Решив эти уравнения, найдем G, а также ( , o и Q Затем непосредственно определяется потеря энергии. [c.274] Правые части этих уравнений являются частными производными квадратичной функции переменных X, У, Z, которую обозначим через Е. Отсюда следует, что для всех ударных импульсов, приложенных в одной и той же точке Р одного и того же тела, результирующее изменение скорости точки Р перпендикулярно к диаметральной плоскости направления удара по отношению к некоторому эллипсоиду с центром в точке Р, уравнение которого есть Е = onst. [c.275] Таким образом, имеются восемь уравнений, связывающих двенадцать неизвестных составляющих скоростей и угловых скоростей. [c.276] Аналогичные уравнения имеют место для другого тела. [c.276] Имеем также два уравнения связи, получающихся приравниванием нулю составляющих относительной скорости проскальзывания, а именно. [c.276] Пусть движение отнесено к координатным осям, параллельным главным диаметрам каждого из эллипсоидов в начале удара. Тогда, поскольку продолжительность удара бесконечно мала, а скорости конечны, то тела не будут иметь времени для изменения своих положений, и, таким образом, главные диаметры будут параллельны координатным осям в течение удара. [c.277] Вернуться к основной статье