ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Внезапное наложение связей из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Все подобные задачи решаются на основании единого механического принципа. Изменение движения производится ударными силами, действующими в точках, которые расположены на этой прямой. Следовательно, согласно п. 283, момент количеств движения тела относительно оси будет одним и тем же до и после происшедшего изменения. Динамический принцип дает одно уравнение, которого достаточно для определения последующего движения тела вокруг прямой. [c.254] Этот принцип можно использовать также в более общем случае. Предположим, что имеется какая-либо система движущихся тел, которые внезапно оказываются жестко связанными друг с другом и вынуждены вращаться вокруг некоторой оси. Тогда последующая угловая скорость вращения вокруг этой оси может быть найдена приравниванием моментов количеств движения системы относительно этой оси до и после происшедшего изменения. [c.254] В приложениях этого принципа к различным телам удобно использовать разные методы нахождения момента количеств движения. Следующий перечень поможет читателю в выборе способа, наиболее подходящего в каждом конкретном случае. [c.254] Пример 2. Пластинка в форме прямоугольного треугольника АСВ вращается вокруг стороны АС. Внезапно сторона АС высвобождается, а ВС закрепляется. Если С — прямой угол, то угловая скорость вращения равна ВаЛС ее первоначального значения. [c.255] Пример 4 Некоторая точка пластины, мгновенно вращающейся вокруг оси, лежащей в ее плоскости, внезапно закрепляется. Показать, что если новая мгновенная ось вращения составляет прямой угол с прежней осью, то точка должна располагаться на гиперболе, одна из асимптот которой перпендикулярна к данной оси, а другая является ей сопряженной по отношению к эллипсу инерции, построенному для центра тяжести. [c.255] Пример 1. Прямой конус, угол полураствора которого равен а, вращается вокруг образующей Внезапно закрепляется другая образующая. Плоскости, проходящие через ось конуса и образующие, составляют угол ср. Показать, что отношение угловых скоростей равно [2 -Ь (4 п) os ф]/(б п), где п = tg а. [c.256] Пример 2. При вращении тела вокруг неподвижной точки половина произведения момента инерции относительно мгновенной оси на квадрат угловой скорости представляет собой живую силу. Пусть Т — живая сила тела, когда оно свободно вращается вокруг оси 01, Т — его живая сила, когда ось 01 внезапно закрепляется. Построим эллипсоид инерции в точке О, и пусть 0 — угол между эксцентрическими линиями двух осей 01, 01. Доказать, что Т = = Т os 0. Отсюда следует, что живая сила всегда уменьшается, если становится неподвижной новая ось. [c.256] Предположим, что эта прямая внезапно закрепляется в пространстве. Момент количеств движения до закрепления определялся в пп. 263, 265, 266. Если со — угловая скорость вращения вокруг рассматриваемой прямой после ее закрепления , то момент количеств движения есть /со, где I дается в п. 17, пример 9. Приравнивая обе величины, находим со. [c.256] Угловые скорости 0, ф, г)), характеризующие заданное движение прямой, могут быть выбраны бесконечным числом способов, поскольку угловая скс ость вращения вокруг прямой не перемещает саму прямую Если 0, ф, выбраны так, чтобы скорость вращения Ю + тф + тр вокруг прямой стала равной нулю, и если I, т, п — текущие направляющие косинусы прямой, то тогда Й будет являться угловой скоростью вращения тела вокруг оси непосредственно после изменения состояния движения. [c.256] Эта величина Q, каким бы способом она Ни вводилась, должна быть найдена приравниванием моментов количеств движения относительно оси до и после изменения. Указанные моменты количеств движения могут быть записаны способом, приведенным в п. 266. [c.257] Пример 1. Эллиптический диск находится в покое. Внезапно один из концов его наибольшей оси и один из концов наименьшей оси вынуждены начать движение перпендикулярно к плоскости диска со скоростями U я V. Показать, что центр тяжести начнет перемещаться со скоростью, равной /s U V). [c.257] Пример 4. Пусть движение свободного тела задано компонентами и, v, w, Мж, (uy, Мг, отнесенными к какому-либо центру приведения. Пусть движение, вынужденное внезапно совершаться некоторой прямой, характеризуется компонентами и, V, W, 0, ср, г)), отнесенными к тому же самому центру. Тогда относительное движение определяется компонентами и — U, v— V,. .. Выбирая их в качестве заданных величин, найдем компоненты движения после происшедшего изменения в предположении, что прямая была внезапно закреплена. Пусть они равны и, v, . .. Доказать, что движение, которое требуется определить, характеризуется компонентами U- и, Кv, . .. Эта процедура решения может быть названа приведением прямой в состояние покоя. [c.257] Очевидно, что эти уравнения можно в значительной мере упростить, если выбрать оси так, чтобы они являлись главными осями. [c.258] Следовательно, мгновенные оси вращения до и после того, тк точка Р была закреплена, связаны так, что их диаметральные плоскости по отношению к эллипсоидам инерции соответственно в точках G и Р являются параллельными. [c.258] Этот результат можно также вывести без затруднений из п. 118. Движение тела вокруг оси GI может быть произведено парой ударных сил, лежащих в плоскости, диаметральной для GI по отношению к эллипсоиду инерции в точке G. [c.258] Предположим, что тело находится в состоянии покоя, а точка Р неподвижна, и что на тело действует указанная пара сил. Из результатов упомянутого пункта следует, что тело начнет вращаться вокруг оси РГ, для которой диаметральная плоскость по отношению к эллипсоиду инерции в точке Р параллельна плоскости пары. [c.259] Для того чтобы найти направаение ударного импульса в точке Р, заметим, что центр тяжести из состояния покоя внезапно начинает двигаться перпендикулярно к плоскости, проходящей через него и ось РГ. Это. очевидно, и есть направление ударного импульса. [c.259] Пусть G — центр шара, О — точка его поверхности, а — его радиус, а С — центр Земли. Предположим, что на рис. 45 шар движется от наблюдателя. Пусть 0) — угловая скорость вращения Земли, тогда если G = (ха, то шар вращается вокруг оси Gp, параллельной оси Земли СР, с угловой скоростью со, в то время как его центр тяжести движется со скоростью ia sin 0-м. [c.259] Пусть ОС, Ор и перпендикуляр к плоскости ОС, Ор взяты в качестве осей х, у, z соответственно, и пусть Qx, /, Qz представляют собой угловые скорости вращения вокруг этих осей непосредственно после того, как Земля прекратила вращаться. [c.259] Вернуться к основной статье