ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Момент количеств движения относительно неподвижных и подвижных осей из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Мгновенное движение тела относительно неподвижной точки задано проекциями угловой скорости (Лх, а у, сОг при оси, пере-секаюш,иеся в одной и той же точке. Найти момент количеств движения тела относительно оси г. [c.226] Здесь М. — полная масса тела, а коэффициенты при со , со представляют собой моменты инерции относительно осей с началом в центре тяжести и соответствующие произведения инерции. [c.227] Если выбранные оси неподвижны в пространстве, то коэффициенты при ю , Ыу, со, в выражении для Ад, вообще говоря, будут переменными, а их изменение подчиняется достаточно сложным законам. В таких случаях более удобно выбирать оси, неизменно связанные с телом, и именно такой выбор сделан Эйлером в его уравнениях движения (см п. 252). [c.227] Можно было бы вместо (О3 подставить его значение из трегьего кинематического уравнения Эйлера, но тогда в уравнение вошла бы величина d ldt. Вообш,е же, более удобно оставлять в уравнении Юд. [c.229] В этом способе момент количеств движения тела с осевой симметрией относительно произвольной прямой выражается через направляющие косинусы оси симметрии тела и угловую скорость враи ения вокруг нее. [c.229] Второй способ Вместо несимметричных координат О, ф можно использовать направляющие косинусы т), S оси симметрии тела Следуя правилу п 76, заменим тело системой частиц, обладающей теми же моментами инерции, что и тело Предположим, что на оси ОС закреплена одна или большее чисто воображаемых частиц так, что их суммарный момент инерции относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно к ОС, равен А Пусть эти частицы движутся вместе с осью Движение оси определяется угловыми скоростями Wj, СО2 и, следовательно, моменты количеств движения этих частиц относительно осей ОА, ОВ, очевидно, равны ЛМ], Ащ Эти величины совпадают с соответствующими величинами для тела Момент количеств движения частиц относительно оси симметрии равен нулю Поэтому моменты количеств движения тела относительно осей ОА, ОВ, ОС будут равны соответствующим моментам количеств движения частиц и моменту количеств движения Сщ относительно оси ОС Это следует из правила паратлелограмл1а и справедливо для двух других осей. [c.229] Таковы весьма простые формулы для момента количеств движения тела относительно неподвижных осей координат. [c.230] Если тело свободно движется в пространстве, то вместо неподвижной точки берут центр тяжести В этом случае удобно закрепить на оси тела две одинаковые частицы на равных расстояниях от центра тяжести, по разные стороны от него так, чтобы центр тяжести воображаемой системы совпадал с центром тяжести тела. Тогда момент количеств движения свободного тела относительно любой прямой будет равен сумме проекций на эту ось момента количеств движения системы частиц и момента пары wg, расположенного по оси тела. [c.230] Показать, что момент количеств движения тела относительно произвольной прямой, проходящей через точку О, равен моменту количеств движения этих частиц. Это следует непосредственно из п. 76. [c.230] Здесь М — масса тела, hi, h , 1ц определяются равенствами, приведенными в п. 262, а I, т, п — направляющие косинусы данной прямой. [c.231] Требуемое доказательство может быть выполнено с помощью теоремы п. 75. Момент количеств движения относительно прямой, параллельной данной, очевидно, равен Ihi + m/ij -j- n/ig. Теперь необходимо найти момент количества движения всей массы тела, сосредоточенной в центре тяжести, относительно данной прямой и сложить полученные результаты. [c.231] Обратимся к рис. 33 и предположим, что Р — точка с координатами (/, g, h). Найдем моменты количеств движения относительно системы осей, параллельных данным координатным осям с началом в точке Р. Очевидно, что прямая NP будет новой осью г. Момент скорости начала О относительно прямой ОР, как легко видеть, равен u-MN — v-OM, или, что то же самое, ug — vf. Этот момент стремится повернуть тело в положительном направлении вокруг прямой NP. Аналогично, моменты скорости точки О относительно осей, параллельных осям X п у, будут равны vh — wg н wf — uh. Если эти три момента умножить на п, I, т соответственно, то получим момент скорости центра тяжести относительно данной прямой. Умножая результат на М, найдем момент количества движения центра тяжести. Отсюда непосредственно следует необходимый результат. [c.231] Пример 2. Найти момент количеств движения тела относительно мгновенной оси, а также относительно пересекающей ее произвольной перпендикулярной оси. [c.231] Принимая мгновенную ось в качестве оси г, можем использовать выражения для hx, h , Ag, приведенные в п. 262. [c.231] Отсюда следует, что момент количеств движения относительно произвольной прямой Ох, перпендикулярной к мгновенной оси Oz, не равен нулю, если соответствующие произведения инерции не равны нулю. [c.231] Пример 3 Треугольная пластина АВС массой М вращается вокруг стороны СА с угловой скоростью со. Показать, что ее момент количеств движения относительно стороны СВ равен (Vj2) Mab o sm С, где а и Ь — длины сторон, между которыми заключен угол С. [c.231] Вернуться к основной статье