ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Начальные движения. Примеры из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Для определения трех величин и, и, Я написанных уравнений недостаточно. Чтобы получить третье уравнение, необходимо рассмотреть, что происходит в процессе удара. [c.162] Каждый из шаров при ударе испытывает некоторое сжатие со стороны другого, так что они уже не будут иметь правильную сферическую форму. Вообще говоря, каждый из них стремится восстановить свою первоначальную форму, поэтому они отскакивают один от другого. Таким образом, время удара можно разделить на две части 1) период сжатия, в течение которого расстояние между центрами тяжести обоих тел уменьшается, 2) период восстановления, в течение которого расстояние между центрами тяжести увеличивается. Второй период заканчивается, когда тела разделяются. [c.162] Так как расположение частиц тела при ударе нарушается, то мы должны определить относительные перемещения различных частей тела. Можно рассматривать тело как совокупность свободных частиц, связанных между собой силами взаимодействия. Эти частицы, будучи приведенными в движение, могут затем колебаться около некоторых средних положений в теле. [c.162] Однако обычно предполагают, что изменения формы и структуры тела настолько малы, что эффектом изменения положения центра тяжести и моментов инерции можно пренебречь. Так как полное время удара мало, то и перемещением тела за это время также можно пренебречь. Таким образом, можно предполагать, что в момент наибольшего сжатия центры тяжести двух шаров движутся с равными скоростями. [c.162] Предположим, что силой восстановления пренебречь нельзя. Обозначим через Я полный импульс взаимодействия между шарами, — импульс взаимодействия в момент наибольшего сжатия. Величину Я находим экспериментально, определяя величины и у и затем вычисляя Я из уравнения (1). Такие опыты впервые были сделаны Ньютоном и привели к выводу, что отношение Я/Яо представляет собой постоянную величину, зависящую от материала, из которого сделаны шары. Указанное постоянное отношение обозначим через 1 + е. Величина е никогда не превосходит единицы. В предельном случае, когда е = 1, говорят, что тела абсолютно упругие. Постоянная е называется коэффициентом восстановления. [c.163] Пример. Однородный стержень, который может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр тяжести, находится в состоянии равновесия. На один из его концов с высоты к падает абсолютно упругий шар. Определить движение стержня и шара. [c.163] Если скорость ящика в конце удара снова станет равна V, то коэффициент ударного трения будет равен обычному коэффициенту трения. [c.164] Следует заметить, что результирующий ударный импульс между падающим грузом и ящиком имеет вертикальное направление, так как горизонтальные составляющие скорости груза до и после удара равны. [c.165] Если тела упругие, то время удара Пуассон делит на два периода. Первый начинается в момент первого контакта тел и заканчивается в момент максимального сжатия. Второй начинается в момент наибольшего сжатия и заканчивается в момент отделения тел. Движения в конце первого периода находятся точно так же, как и для неупругих тел. Движение в конце второго периода находится из условия, что отношение полного количества движения, переданного одним телом другому во втором периоде, к полному количеству движения, переданному в течение первого периода удара, есть величина постоянная. Это отношение зависит от упругих свойств тел и может быть найдено только при помощи эксперимента, выполненного для более простых случаев удара двух тел, сделанных из одного и того же материала. [c.166] Кориолис в своей книге С о г i о 1 i s G. Jeu de Billard, 1835) рассматривает удар двух шероховатых шаров, скользящих в течение всего времени удара один по другому 1). Он показывает, что при ударе двух шероховатых шаров направление скольжения будет неизменным в течение всего удара. [c.167] Филлипс не исследовал детально удара упругих тел, хотя и заметил, что время удара следует разделить на два периода, которые необходимо рассматривать отдельно. Однако если сделать те же самые предположения, то, как считает Филлипс, никаких особенностей в каждом из этих двух периодов не возникает. Случай, в котором скольжение прекращается и сила трения становится разрывной, он не изучал. [c.167] В этой главе мы рассматриваем теорию удара только для плоского случая. В гл. VI мы возвратимся к этому вопросу и распространим теорию на случай тел произвольной формы в трехмерном пространстве. [c.167] Этих шести уравнений достаточно для определения движения непосредственно после удара. [c.168] Умножая эту формулу на 1 + е, согласно п. 179, получим полный импульс R для всего удара. Подставляя полученное значение в уравнения (1) и (2), найдем значения и, v, со, и, и, со. [c.168] Пусть Я — полное количество движения, сообщенное телу массой М. за время удара I ударной нормальной реакцией, Р — количество движения, сообщенное ударным трением. Предположим, что эти ударные импульсы действуют на тело массой М. в направлениях N0, МА соответственно. В таком случае необходимо считать, что на тело массой М они действуют в противоположных направлениях. [c.169] В то время как Я представляет собой полное количество движения, сообщенное телу массой М в направлении нормали, количество движения, сообщенное за время (И, равно йЯ. Так как тела могут только давить одно на другое, то йЯ должно быть положительным, и в соответствии с п. 136, если йЯ = О, то тела не соприкасаются. Таким образом, величина Я может быть принята в качестве характеристики процесса удара. Вначале она равна нулю, затем постепенно возрастает и становится наибольшей в конце удара. Оказывается более удобным в качестве независимой переменной выбрать Я вместо времени 1. [c.169] Эти величины можно назвать постоянными удара. Две из них 5о, Со представляют собой начальные скорости скольжения и сжатия. Их будем считать положительными, так что в начале сжатия тело массой М скользит по телу массой М. Другие три постоянные а, а, Ь не зависят от начального состояния движения соударяющихся тел. Постоянные а я а существенно положительные, в то время как Ь может иметь любой знак. Отметим, что аа Ь . [c.170] Идея этого метода состоит в следующем. [c.170] В процессе удара непрерывно увеличивается, и поэтому ордината АЯ точки Р также непрерывно возрастает, т. е. проекция изображающей точки на ось всегда находится на положительной части оси Я. [c.171] Абсцисса Р точки Р измеряется в направлении, противоположном тому, в котором на тело массой М действует ударное трение. Отсюда следует, что проекция изображающей точки на ось Р движется в направлении, в котором скользит тело массой М. В течение удара движение может иногда изменять свое направление. [c.171] Вернуться к основной статье