ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры применения общих теорем из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Пусть а — угол наклона плоскости к горизонту, а — радиус шара, nik — момент инерции относительно горизонтального диаметра, О — точка наклонной плоскости, которой первоначально касался шар, N — точка контакта в момент t. Тогда, очевидно, точку О удобно выбрать в качестве начала координат, а 0N — за ось х (рис. 14). [c.130] Так как шар однородный, то и sin а. [c.130] Предполагая, что шар в начальный момент покоился, очевидно, будем иметь г = (5/14) g sin а/2. Этим движение полностью определено. [c.130] Никаких других условий более не нужно, так как при составлении уравнений (1) и (2) постоянство расстояния ОС уже предполагалось. [c.131] При этом предполагаем, что тело начинает движение из состояния покоя из точки, бесконечно близкой к точке В. [c.131] Пример 2. Стержень опирается одним концом на гладкую горизонтальную плоскость, а другим на гладкую вертикальную стену и составляет угол а с горизонтом. Показать, что если затем стержень начинает скользить вниз, то он отойдет от стены, когда его угол наклона станет равным ar os (2/3 sin а). [c.132] Пример 5. Два одинаковых абсолютно шероховатых шара находятся в положении неустойчивого равновесия один на другом. Нижний шар покоится на абсолютно гладкой доске. Показать, что, будучи незначительно отклоненными от состояния равновесия, шары будут продолжать соприкасаться между собой в той же самой точке. Показать, что (k + а + sin2d)O2= 2ga (1 — os ), где d — угол наклона прямой линии, соединяющей центры шаров, к вертикали. [c.132] Пример 6, Два неодинаковых абсолютно гладких шара находятся в состоянии неустойчивого равновесия один на другом. Нижний шар покоится на абсолютно гладкой доске. Система незначительно отклонена от состояния равновесия, Показать, что шары отделяются один от другого, когда прямая, соединяющая их центры, будет составлять с вертикалью угол ф, определяемый из уравнения т os ф = (AI + ffi) (3 os ф — 2), в котором М — масса нижнего шара, am — масса верхнего шара. [c.132] Пример 7. Шар массой AI и радиуса а вынужден катиться по абсолютно шероховатой кривой произвольной формы. Начальная скорость его центра тяжести равна К. Показать, что при изменении начальной скорости на величину V — V нормальная реакция возрастет на величину M(V — где р — радиус кривизны кривой в точке касания, а сила трения останется неизменной. [c.132] Пример 8. Однородный стержень длины 2а расположен под углом а к вертикали, причем один его конец касается горизонтальной плоскости. В начальный момент стержень покоился. Показать, что в момент, когда стержень примет горизонтальное положение, его угловая скорость определится из формулы 2аа == 3 os а независимо от того, будет плоскость абсолютно гладкой или абсолютно шероховатой. Показать, что ни в первом, ни во втором случаях стержень не покидает плоскость. [c.132] Решая это уравнение, найдем v. Если через обозначить длину части цепи, находящейся на столе, то и = d /dt. Постоянные интегрирования определяются из условия, что при t = О, 5=0, v = О (см. п. 300). [c.133] Если стержень начинает движение из состояния покоя, притом = Р, то С = = mgl sin р. [c.134] Это уравнение не может быть проинтегрировано. Следовательно, нельзя найти через элементарные функции времени, но угловая скорость стержня, а стало быть, и скорость клина определяются из приведенного уравнения. [c.134] Следующее решение может сначала показаться усложненным. Его цель — иллюстрация различных способов применения теоремы об изменении момента количеств движения и теоремы живых сил. Здесь приведены подробные объяснения, так как это первый пример такого рода. На практике обычно уравнения (1) и (2), полученные ниже, выводятся из этих теорем лишь с краткими пояснениями. [c.134] Пусть 2а — длина каждого из стержней, тк — его момент инерции относительно центра тяжести, так что к = а /З. Пусть О я Е1 — средние точки стержней, а х, у суть координаты точки Е1 в системе отсчета с началом в точке А. [c.134] Существуют только два независимых возможных перемещения стержней. Мы можем повернуть АВ вокруг А и ВС вокруг В. Все перемещения, которые не могут быть представлены через эти перемещения, несовместимы с рассматриваемыми связями. Для определения движения системы достаточно двух динамических уравнений (1) и (2). Все другие уравнения, которые могут нам понадобиться, должны выводиться из уравнений связей. [c.135] Эти уравнения определяют м, м через вспомогательный угол ф. [c.135] Исключая U и принимая во внимание, что р = 4а os (ф/2), получим Е (Зрз + 16а ) (р — 2а) = 23т (р 2а). [c.136] Это кубическое уравнение имеет один положительный корень больше 2а. [c.136] Можно избежать лишних выкладок, если уравнения, получаемые из теоремы о моменте количеств движения и теоремы живых сил, составлять другим способом. Стержень ВС враш,ается вокруг точки В с угловой скоростью ш, а точка В в то же самое время движется в направлении, перпендикулярном к АВ со скоростью 2aa . Скорость точки Ei, таким образом, является результи-руюш,ей скорости аш, перпендикулярной к ВС, и скорости 2аш, перпендикулярной к АВ, причем оба вектора скорости, конечно, приложены в точке Е . [c.136] Вернуться к основной статье