ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Живая сила. Силовая функция и работа из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Наряду с этими уравнениями существуют уравнения связей Так как каждой связи соответствует реакция, а каждой реакции — некоторая связь, то число уравнений связей всегда равно числу неизвестных реакций в системе. [c.120] Полученное дифференцированием уравнения (2), находим уравнение, содержащее только реакции и постоянные величины. Это справедливо для всех геометрических связей, и очевидно, что все реакции останутся постоянными во все время движения. Их значения могут быть найдены. Если эти значения подставить в динамические уравнения (1), то их правые части будут постоянны, и величины X, г/ и д можно легко найти интегрированием. [c.121] Важно заметить, что при применении первого метода решения реакции остаются постоянными во все время движения, так что упомянутый выше разрыв непрерывности никогда возникнуть не может. В этом случае, если система состоит из двух тел, то тела либо отделены одно от другого с начала движения, либо всегда непрерывно соприкасаются между собой. Реакции же не зависят от начальных условий и будут такими же, как если бы система находилась в состоянии покоя. [c.121] Следует заметить, что это выражение не зависит от положения точки Р на линии PQ. Отсюда следует, что проекции ско-ростей всех точек произвольной прямой PQ на направление PQ будут одинаковы. Этот результат становится очевидным, если вспомнить, что все точки прямой жестко связаны между собой, так что, если бы проекции скоростей точек на эту прямую были неодинаковы, то отрезки, взятые на линии PQ, изменяли бы свою длину. [c.122] Если тела абсолютно шероховатые и катятся одно по другому без скольжения, то реакции в точке соприкосновения будут иметь по две составляющие одну — нормальную, а другую — касательную к поверхностям соприкасающихся тел. Для каждой из них получим уравнение, аналогичное только что найденному. Однако если происходит скольжение, то наши рассуждения неприменимы. Последний случай будет рассмотрен несколько позже. [c.122] Коэффициент при R равен нулю в силу геометрического соотношения, полученного в п. 137. Аналогичные рассуждения остаются справедливыми для любых реакций между каждыми двумя движуш,имися телами. [c.123] Предположим, что тело массы М испытывает давление со стороны некоторой неподвижной внешней поверхности. Тогда реакция R действует только на тело массы /W, и коэффициент при 2R равен той части, которая заключена в первой скобке. Но скорость точки соприкосновения в направлении R должна обратиться в нуль, а поэтому коэффициент при R снова равен нулю. [c.123] Пусть А — точка приложения активной силы F, и пусть проекция скорости точки А на линию действия силы F равна f. Тогда коэффициент при 2F будет равен f. Из определения df следует также, что F df представляет собой величину, которая в статике называлась работой силы F на элементарном пере-меш,ении/). [c.123] имеем обш,ий метод составления уравнений, не содержа-ш,их неизвестных реакций для абсолютно шероховатых и абсолютно гладких тел Метод состоит в умножении уравнений, со-держаш,их Мх, Му, Mk и т. д., нах, у, и т. д. и последуюш,ем сложении этих уравнений для всех тел. Из-за уравнений связей коэффициенты при всех неизвестных реакциях будут равны нулю. [c.123] Это равенство называется уравнением живых сил. [c.124] В левой части этого уравнения стоит выражение для живой силы рассматриваемого тела, а справа — для работы сил, приложенных к частицам этого тела. [c.124] В этом способе доказательства силы, стоящие в правой части уравнения, включают в себя 1) силы взаимодействия отдельных частиц, составляющих каждое из тел, 2) реакции, обусловленные взаимодействием тел между собой, 3) силы, действующие на систему извне. [c.124] Основное возражение против этого способа доказательства заключается в том, что принятые ограничения нечетко оговорены. В гл VH будет дана модификация этого второго доказательства, которая опирается на принцип возможных перемещений и, как представляется, будет иметь ряд преимуществ Применение этого принципа позволяет установить общее правило определения того, какие из сил будут входить в уравнение живых сил. [c.124] Так как теорема живых сил чаще всего применяется в динамике, то имеет смысл рассмотреть ее с различных точек зрения. [c.124] Если бы вся масса была сосредоточена в центре тяжести тела и двигалась со скоростью центра тяжести, то к было бы равно нулю и живая сила вычислялась бы с помощью двух первых членов Таким образом, эти члены в совокупности представляют собой живую силу поступательного движения, а последний член — живую силу вращательного движения. [c.125] Деля на и подставляя вместо членов, содержащих суммы, их значения, приведенные в п. 13, будем иметь ОЯ = GP + РР, что и доказывает предложение. В трехмерном пространстве точка Р должна лежать на цилиндре, в основании которого находится окружность, описанная перпендикуляром, опущенным из G на мгновенную ось вращения. [c.126] В этом и трех последующих пунктах будем предполагать, что функция и существует и является известной функцией координат системы ). [c.126] В следующей главе будут рассмотрены более подробно различные формы, которые может иметь силовая функция. А сейчас покажем, как ее найти для системы тел, которые движутся под действием только одних сил тяжести при наличии связей. [c.126] Вернуться к основной статье