ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип Даламбера и уравнения движения из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Если твердое тело рассматривать как совокупность материальных частиц, находящихся одна от другой на неизменном расстоянии, то с помощью упомянутых законов Ньютона можно написать уравнения для отдельных частиц. Однако все силы, приложенные к каждой частице, теперь уже не будут известными, ибо некоторые из них обусловлены взаимодействием частиц. [c.62] Рассмотрим твердое тело, состоящее из п частиц. Тогда будем иметь Зл уравнений, и, как известно из любого руководства по статике, Зл — 6 неизвестных реакций связей. Для определения движения эти неизвестные величины необходимо исключить. Таким образом, окончательно получим шесть уравнений, и, как будет показано несколько ниже, их достаточно для определения движения тела. [c.62] Если имеется несколько твердых тел, которые взаимодействуют между собой, то задача усложняется. Но нет необходимости рассматривать детально этот или предыдущий случай, так как Даламбер предложил метод, с помощью которого можно получить все необходимые уравнения, не выписывая уравнений движения для отдельных частиц. При этом делается единственное предположение, которое связано с природой взаимодействия и которое можно рассматривать как естественное следствие законов Ньютона. [c.62] Внутренние действия и противодействия в любой системе движуш,ихся твердых тел взаимно уравновешиваются. [c.62] Если движущаяся частица принадлежит твердому телу, то она испытывает воздействие внешних приложенных, а также удерживающих молекулярных сил со стороны других частиц. Если эту частицу рассматривать отдельно от остального тела и отбросить все эти силы, то найдется одна такая сила, которая при тех же самых начальных условиях вызовет точно такое же движение частицы, как и предыдущее. Эта сила называется эффективной силой, действующей на частицу. Она, очевидно, является равнодействующей приложенных и молекулярных сил, действующих на частицу. [c.63] Если — соответствующий вектор ускорения, то, как известно из динамики точки, эффективная сила будет измеряться величи-чиной mi. [c.63] Пусть Р — равнодействующая приложенных сил, а К — равнодействующая молекулярных сил, действующих на частицу. Тогда т представляет собой равнодействующую сил Р и К. Поэтому, если mi взять с обратным знаком, то три силы Р, К и —т будут находиться в равновесии. [c.63] Те же самые рассуждения можно провести применительно к любой частице любого из тел системы. Таким образом, получим совокупность сил, подобных Р, совокупность сил, подобных Р, и совокупность сил, подобных mi. Эти три совокупности образуют систему сил, находящуюся в равновесии. В то же время, в соответствии с предположением, принятым в принципе Даламбера, сама по себе совокупность сил К образует уравновешенную систему сил. Отсюда следует, что совокупность Р будет уравновешиваться совокупностью mf. Итак, если предположить, что на каждую точку системы действуют силы, равные эффективным, но направленные прямо противоположно, то они уравновешиваются приложенными силами. [c.63] Согласно этому принципу решение динамической задачи сводится к решению задачи статики. Процесс решения состоит в следующем. Сначала выбирают величины, с помощью которых может быть задано положение системы в пространстве. Затем через эти величины выражают эффективные силы, действующие на каждый элемент. Изменяя направления последних на противоположные, получим систему, уравновешиваемую данными приложенными силами. Наконец, уравнения движения каждого из тел составляют, как это обычно делается в статике, проектируя силы на три направления и вычисляя их моменты относител ч) трех осей. [c.63] Отсюда вытекает следующее правило для нахождения движения нескольких взаимодействующих тел. Каждое движение а, 6, с,. .., передаваемое этим телам, следует разложить на два а и а, b и Р, с и х и т. д., причем они должны быть таковы, что если телам будут переданы лишь движения а, Ь, с,. .., то тела могут сохранить эти движения, не мешая одно другому если же телам будут переданы лишь движения а, 3, х,. .., то тела будут оставаться в покое. [c.64] и будут теми движениями, которые воспринимают тела вследствие их взаимодействия. Что и требовалось найти. [c.64] Колебание отдельной точки обычно изучается в руководствах по элементарной динамике. Доказывается, что период малых колебаний пропорционален квадратному корню из радиуса описываемой ею дуги окружности. В нашей задаче имеются две частицы, описывающие дуги окружностей различных радиусов за одно и то же время. Следовательно, каждая частица должна изменять движение другой. Частица, движущаяся по дуге меньшего радиуса, ускоряет движение другой частицы, а сама задерживается более медленным движением этой второй. Наша задача состоит в определении результирующего движения. [c.65] Применяя принцип Даламбера, эту динамическую задачу можно свести к обычной статической задаче, которая, будучи решенной по правилам статики, дает дифференциальные уравнения движения. [c.65] Пусть ОА = а, ОВ = Ь, и пусть угол, образованный стержнем ОАВ с вертикалью Oz, равен . Частица А описывает дугу окружности, поэтому компоненты эффективной силы для нее, как известно из элементарной динамики, суть та б и niae , причем первая направлена вдоль касательной к дуге окружности, в направлении возрастания угла О, а вторая — вдоль радиуса ЛО к центру. Аналогично, для частицы В составляющие эффективной силы суть т ЬЬ и m be и направлены по касательной к дуге и по радиусу соответственно. Направления этих эффективных сил отмечены на рис. 6 двойными стрелками, в то время как одинарные стрелки указывают направления сил веса частиц mg и m g. [c.65] Это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение движения. После того как оно решено и две произвольные постоянные выражены через начальные условия, будем иметь как функцию от времени. Не входя здесь в подробности аналитического решения, приведем результат. [c.66] Рассмотрим эту задачу в измененном виде. Найти движение стержня ОАВ, вращающегося вокруг вертикали подобно коническому маятнику с постоянной угловой скоростью и с постоянным углом О, который стержень ОАВ образует с вертикалью. [c.66] В этой задаче частицы также описывают окружности, однако плоскости их горизонтальны, а центры расположены в точках Е и F, как изображено на рис. 7. Так как движение вокруг вертикали равномерно, то составляющая эффективной силы точки А по касательной к ее траектории равна нулю. Следовательно, составляющая эффективной силы по радиусу АЕ направлена к центру и равна таф in 13-, где ф — угол, образованный плоскостью zOA с некоторой неподвижной плоскостью, проходящей через ось Oz. Аналогично, полная эффективная сила точки В направлена вдоль радиуса BF и равна m b f sin Q. [c.66] Таким образом, снова приходим к результату, что движение стержня ОАВ вокруг вертикали такое же, как если бы обе частицы были объединены в одну и помещены на том же самом расстоянии от точки О, как и в первой задаче. [c.67] Вернуться к основной статье