ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Фокусы инерции из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Пусть масса тела —М, а Л и В (Л В) — моменты инерции относительно осей Ох и Оу. [c.51] Обозначим через 5 и Я две точки на оси, соответствующей наибольшему моменту инерции, находящиеся по разные стороны от начала координат, причем 08 = ОН = /(Л — В) М. Эти точки называются фокусами инерции для этой главной плоскости инерции. [c.51] Так как эти точки находятся на одной из главных осей инерции для центра тяжести, главные оси инерции для точек 5 и Я параллельны осям координат и моменты инерции относительно этих осей, лежащих в плоскости ху, соответственно равны Л и Б + + М-05 = Л. Так как эти моменты инерции равны, любая прямая, проходящая в плоскости ху через точку 5 или Я, будет главной осью инерции для этой точки, и момент инерции относительно нее равен Л (см. пп. 16 и 23). [c.51] Эти условия, очевидно, удовлетворяются, так как центр тяжести находится в начале координат, и за оси координат взяты главные оси инерции. [c.51] Другие две главные оси инерции могут быть найдены следующим образом. Если моменты инерции относительно двух прямых, пересекающихся в точке Р, будут равны, то при условии, что эти прямые лежат в главной плоскости инерции, главная ось инерции для точки р будет биссектрисой угла между этими двумя прямыми. Действительно, оси эллипса инерции с центром в точке Р будут биссектрисами углов между любыми двумя равными по величине радиусами-векторами. [c.51] Соединим точку р с точками 5 и Я (рис. 5). Каждый из моментов инерции относительно прямых 8Р и 8Н равен Л. Отсюда, если прямые РО и РТ являются биссектрисами двух смежных углов, один из которых угол 8РН, то эти прямые РО, РТ — главные оси инерции для точки Р. Поэтому, если взять произвольный эллипс или гиперболу с фокусами, находяш имися в точках 8 и Н, то касательная и нормаль в любой их точке будут главными осями инерции для этой точки. [c.51] Поэтому для произвольных эллипса или гиперболы с фокусами, находящимися в точках S и Н, момент инерции относительно любой касательной, проведенной к каждой из этих кривых, постоянен. [c.52] Случай гиперболы может быть рассмотрен аналогичным образом. [c.52] Найдем, как и прежде, точки 5 и Я такие, чтобы каждая из величин 08 и ОЯ была равна разности моментов инерции относительно осей Ох и Оу, деленной на массу. [c.52] Пример 3. Для точек, которые были названы фокусами инерции, два главных момента инерции равны. Показать, что в общем случае нет такой точки, чтобы моменты инерции относительно всех осей, переходящих через нее, были одинаковы. Найти условия, при которых эта точка может существовать. Такие точки, если они существуют в твердом теле, называются шаровыми точками инерции этого тела. [c.53] Пример 4. Шаровыми точками инерции полусферы являются ее центр и точка на поверхности. Найти шаровые точки для объема полусферы. [c.53] Из примера 8 п. 5 следует, что моменты инерции полусферы относительно любой оси, проходящей через ее центр, одинаковы. Следовательно, центр есть шаровая точка инерции. Так как центр тяжести делит пополам расстояние между шаровыми точками, положение другой точки определяется сразу. [c.53] Вернуться к основной статье