ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эллипсоид инерции. Инварианты из "Динамика системы твёрдых тел Т.1 " Таким образом, каждой точке О твердого тела соответствует поверхность второго порядка, обладающая тем свойством, что момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через точку О, обратно пропорционален квадрату длины радиуса-вектора точки пересечения этой поверхности с осью. Удобство этого геометрического построения состоит в том, что соотношения, Которые существуют между моментами инерции относительно пучка прямых, исходящих из произвольной точки О, могут быть обнаружены с помощью известных свойств квадратичных форм. [c.27] Отсюда следует, что для произвольных прямоугольных осей координат с общим началом они остаются неизменными и положительными. [c.28] Применим полученные результаты к решению некоторых простых примеров. [c.28] При 2=0 это уравнение переходит в уравнение эллипса, подобного ограничивающему пластинку. Отсюда следует, что эллипсом инерции эллиптической пластинки, построенным для ее центра, служит произвольный эллипс, подобный границе пластинки н одинаково с ним расположенный. Это также следует из примера 1 п. 17. [c.29] Пример 2. Найти эллипсоид инерции стержня массой М и длиной 2а для произвольной точки О этого стержня. [c.29] К + г =- е 2, где б — произвольная константа. [c.29] Поэтому эллипсоид инерции представляет собой вытянутый сфероид, который в случае бесконечно тонкого стержня переходит в прямой круговой цилиндр с осью, расположенной вдоль стержня. [c.29] Заметим, что большая и малая оси эллипсоида инерции совпадают по направлению соответственно с большой и малой осями данного эллипсоида. [c.29] 5 следует, что среди моментов инерции твердого тела относительно всех плоскостей, проходящих через данную точку, момент инерции относительно одной из главных плоскостей инерции будет наибольшим, относительно другой — наименьшим. [c.30] Кроме того, в силу симметрии, три момента инерции относительно этих осей равны. Следовательно, каждая ось, проходящая через центр тяжести куба, является главной осью для центра тяжести и моменты инерции относительно этих осей одинаковы. [c.30] Предположим теперь, что поверхность твердого тела представляет собой правильный многогранник. Рассмотрим две плоскости, проходящие через центр тяжести тела и параллельные двум каким-либо граням многогранника. Части многогранника, полученные при делении его одной плоскостью, будут такими же, как и при делении его другой плоскостью. Следовательно, эллипсоид инерции для центра тяжести должен быть одинаково расположен по отношению к каждой из этих плоскостей. То же самое справедливо для плоскостей, параллельных всем остальным граням. Следовательно, эллипсоид инерции должен быть сферой, и момент инерции тела относительно каждой оси будет один и тот же. [c.30] Пример 1. Три материальные точки А1, В , Сг с равными массами расположены в вершинах равностороннего треугольника. Доказать, что эллипсом инерции для их центра тяжести О будет окружность. [c.30] Пример 2. Четыре материальные точки одинаковой массы расположены в вершинах тетраэдра. Доказать, что тетраэдр будет правильным, если эллипсоид инерции есть сфера. [c.30] Пример 3. Даны произвольная точка О тела и любая плоскость, проходя-щая через нее. Доказать, что в этой плоскости через точку О могут быть проведены такие две взаимно перпендикулярные прямые, что произведение инерции относительно этих прямых будет равно нулю. [c.30] Эти прямые являются осями симметрии линии пересечения данной плоскостью эллипсоида инерции для точки О. [c.30] Построим для данной точки эллипсоид инерции. Было показано, что произведения инерции относительно произвольных осей координат равны половине коэффициентов при членах, содержащих —Х , —YZ, —IX в уравнении эллипсоида инерции, отнесенного к этим осям. Если оси координат направить по главным диаметрам эллипсоида инерции, то эти коэффициенты будут равны нулю, а оси будут главными осями инерции системы для рассматриваемой точки. Но каждый эллипсоид имеет по крайней мере три главных диаметра. Поэтому каждая материальная система имеет по крайней мере три главные оси инерции в любой точке. [c.31] Таким образом, величины I, т, п пропорциональны дополнительным минорам соответствующих элементов произвольной строки определителя. [c.31] Пример 3. Пусть 5=0 — уравнение эллипсоида инерции для центра тяжести О тела, написанное в форме, приведенной в п. 19, и отнесентсе к произвольным прямоугольным осям. [c.31] Пусть ОЫ — перпендикуляр, опущенный из начала координат О на плоскость, касательную к первому эллипсоиду в произвольной точке Р, а (/, т, п) — направляющие косинусы прямой 0N. Тогда ЬЬгАс п . [c.32] Вернуться к основной статье