ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Как появляется случайность в динамической системе из "Введение в теорию колебаний и волн " Прежде чем ответить на эти вопросы, мы должны сформулировать понятие случайного поведения детерминированных систем. [c.456] Случайность движения обычно ассоциируется с двумя обстоятельствами — с очень чувствительной зависимостью от начальных условий (которая фактически означает непредсказуемость) и с существованием средних по времени величия. Поясним это. [c.457] Предположим, у нас есть генератор случайных колебаний, параметры которого мы не меняем. При многократном включении генератора мы будем получать все время разные осциллограммы. Однако если повторить эксперимент большое число раз, то уже будут проявляться статистические закономерности. Эти закономерности должны быть независимы от вероятностного распределения начальных состояний генератора. Это начальное распределение не является универсальным и должно меняться от генератора к генератору, оно зависит не только от конкретных особенностей элементов схемы, но и от способа включения генератора. [c.457] Обсудим, как в детерминированной системе появляется непредсказуемость индивидуального движения, которая в то же время позволяет перейти к статистическому описанию. [c.457] Сейчас перечислим только траектории, которые могут существовать внутри такой области неустойчивые состояния равновесия, неустойчивые циклы и незамкнутые траектории, которые бесконечно блуждают внутри нашей ограниченной области (но не выходят из нее). Из-за ограниченности фазового объема любая незамкнутая траектория через достаточно большое время подойдет к себе самой сколь угодно близко. Ио траектория неустойчива, поэтому из этой близости вовсе не следует, что следующий этап движения будет похож на предыдущий. Наоборот, малое возмущение будет нарастать, и дальнейший маршрут изображающей точки невозможно предвидеть. [c.458] Из этих рассуждений следует и еще одно проявление неустойчивости — невозможно воспроизвести движение неустойчивой динамической системы, задавая начальные условия со сколь угодно высокой, но конечной точностью. Наиболее четко эту мысль выразили Н. С. Крылов, а затем Макс Борн. В частности, данное Борном определение детерминированности заключается в следующем. Каждое состояние измеряется хотя и с малой, но всегда с конечной неточностью е, поэтому оно определяется не числом, а некоторым вероятностным распределением, и задача состоит в предсказании распределения в момент времени Ь на основе известного начального распределения. Если данное решение устойчиво и начальные возмущения не нарастают, то более позднее состояние предсказуемо и теория может называться детерминистической. Борн подчеркивает, что данное определение детерминированности отличается от традиционного изменением последовательности предельных переходов при е О и оо. Обычно сначала область начального рассеяния стягивается в точку, а затем смотрится поведение при i оо (и, конечно, получается полная предсказуемость ). Этот путь, однако, является нефизичным, и его следует заменить другим сначала при заданном е определить поведение траекторий и область конечного рассеяния (т. е. поперечное сечение трубки траекторий) при любом I и определить, как ведет себя конечное рассеяние при I оо, а затем уже устремить начальное рассеяние к точке. Если конечное рассеяние траекторий при 00 нарастает, то поведение системы непредсказуемо. [c.458] Ситуация меняется, если траектории на фазовой плоскости перестают быть устойчивыми по Ляпунову. Например, в случае неустойчивого фокуса (рис. 22.2) малый разброс начальных отклонений ведет к тому, что при достаточно большом i уже нельзя точно определить состояние системы (она может находиться в любой точке области а). [c.459] В трехмерном фазовом пространстве указанное поведение траекторий легко себе представить разбегаться они могут по двумерной поверхности, а возвращаться — выйдя в пространство. [c.460] Для исследования конкретных статистических свойств динамической системы необходима какая-то гипотеза, позволяющая проводить усреднение. В приложениях теории вероятностей, как известно, истинные вероятности определяются на основании статистических наблюдений частот появления тех или иных событий. Существование пределов этих частот есть следствие закона больших чисел. Для динамических систем вместо рядов статистических наблюдений рассматривают средние по времени характеристики траекторий. Такой характеристикой может быть, например, доля времени, проводимая отрезком траектории длины Т в определенной ячейке фазового пространства. В случае, когда для любой ячейки и большинства траекторий (за исключением, может быть, множества траекторий меры нуль) существует предел при Т оо доли времени, проводимого таким бесконечно длинным отрезком траектории в ячейке, и когда этот предел не зависит от траектории, ансамбль из отрезков траекторий называют эргодическим. Свойство эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю усреднением по времени. [c.461] В консервативных системах, в которых энергия сохраняется, существование временных средних следует из эргодической теории динамических систем, независимость же средних от траектории пока остается в общем случае гипотезой, которая восходит еще к Л. Больцману. [c.461] Эргодичность — это, конечно, еще не случайность, более того, совсем простое квазипериодическое движение u t) = ai smivit + a2 smiV2t, где и 0J2 несоизмеримы (т. е. щшх ф 112 2, где щ, П2 — целые), будет эргодичным. в фазовом пространстве такому движению соответствует нигде не замыкающаяся намотка тора. Усреднение по ансамблю траекторий здесь эквивалентно усреднению по времени, но разбегания траекторий здесь нет. [c.461] Здесь по-прежнему предполагается эргодичность. Присутствие в К 1) периодической или квазипериодической составляющей означает, что в исследуемом движении есть периодические или квазипериодические компоненты (например, незамкнутая траектория на торе). Развитая стохастичность приводит к тому, что функции (ж(i -Ь т)) и /(ж(т)) очень быстро становятся независимыми, т. е. К 1) достаточно быстро стремится к нулю. Спектр реализации в этом случае сплошной. [c.462] Напомним, что корреляционная функция К Ь), характеризующая зависимость значения переменной в данный момент времени от значений в другой момент, всегда действительная четная функция с максимумом в точке = 0. Эта функция может быть как положительной, так и отрицательной. Функция К 1), имеющая вид острого импульса с быстрым спаданием к нулю, характерна для широкополосного случайного процесса с нулевым средним значением (если среднее и 1)) не равно нулю, то К(оо) = ( ( )) ). Для белого шума — случайного процесса, энергия которого равномерно распределена по всем частотам, К Ь) имеет вид -функции. [c.462] Спектр Зи ш) — всегда действительная неотрицательная функция. [c.462] мы будем говорить, что динамическая система является стохастической, если 1) существует предельное распределение вероятностей в фазовом пространстве системы, к которому стремится любое начальное неравновесное распределение (мы здесь для простоты считаем, что такое распределение единственно) 2) поведение системы эргодично-среднее по времени для произвольной функции, заданной в фазовом пространстве, равно среднему по предельному (инвариантному) распределению 3) движение системы характеризуется сплошным спектром, т. е. спадающей автокорреляционной функцией [1]. [c.463] Для каждой конкретной системы проверка этих условий представляет собой чрезвычайно трудную математическую задачу. Поэтому мы обычно будем ограничиваться проверкой более слабых условий. В частности, будем пользоваться критерием стохастичности, в основе которого лежит определение величины Н, характеризующей разбегание соседних траекторий в линейном приближении если эта величина положительна, то движение стохастично . Математическим образом стохастического движения динамической системы является стохастическое множество траекторий в ее фазовом пространстве. Для гамильтоновых систем и диссипативных систем эти множества обладают различными свойствами. [c.463] В диссипативных системах ситуация иная — по определению фазовый объем в таких системах в среднем сжимается, т. е. в среднем по фазовому пространству div и О (и — векторное поле в фазовом пространстве). Хотя сжатие фазового объема — локальное свойство фазового потока (его можно проверить в любой момент времени в каждой точке), в практически встречающихся системах с трением или вязкостью оно часто влечет за собой глобальное свойство — существование в фазовом пространство аттрактора — замкнутого множества, к которому при t оо стремятся все окружающие траектории и остаются в нем. Устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл — знакомые нам примеры регулярных аттракторов. Поскольку фазовый объем в диссипативной системе сжимается, аттрактор имеет нулевой фазовый объем. Всякая траектория, не принадлежащая аттрактору, является переходной. [c.464] Таким образом, стохастическое множество в диссипативной системе — это замкнутое притягивающее множество траектории, на котором все принадлежащие ему траектории неустойчивы. Такое множество называют странным аттрактором [34, 35]. Размерность странного аттрактора всегда меньше размерности фазового пространства. [c.464] Обратим внимание на то обстоятельство, что большинство физических диссипативных систем со странными аттракторами, строго говоря, не удовлетворяют определению стохастической системы, которое мы дали выше. Дело в том, что странный аттрактор наряду с множеством неустойчивых траекторий может включать в себя и устойчивые периодические траектории, однако области их притяжений настолько малы, что они не сказываются на поведении системы ни в физическом, ни в численном эксперименте. Именно поэтому диссипативные системы с такими аттракторами мы будем называть стохастическими. [c.464] Вернуться к основной статье