ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие замечания и определения из "Введение в теорию колебаний и волн " Термины устойчивость и неустойчивость сейчас имеют столь широкое хождение, что без дополнительных пояснений не всегда можно понять, о чем идет речь. Действительно, говорят об устойчивости системы вообще, об устойчивости ее вполне определенного движения (траектории или решения), об устойчивости равновесия и т.д. Да и сама устойчивость или неустойчивость может быть разной. Может быть устойчивость в большом — по отношению к произвольным возмущениям, в малом — определяемая свойствами линеаризованной задачи. Прилагательные при слове неустойчивость обычно характеризуют уже не СТОЛЬКО математические ее особенности, сколько физические механизмы возникновения колебаний (или волн) — диссипативная неустойчивость, параметрическая, излучательная и т.д. [c.129] Иными словами, решения, близкие по начальным значениям, остаются близкими и при 1 0- Если же при сколь угодно малом 5 е) О хотя бы для одного Хг 1) неравенство (6.3) не выполняется, то решение Xi t) называется неустойчивым. [c.131] Часто используют понятие орбитной (или орбитальной) устойчивости. Оно отличается от устойчивости по Ляпунову тем, что из условия (1 х 1о), Х Ьо)) 6 должно следовать лишь (1 х 1) , Х 1)) е, т. е. не требуется синхронности в движении по возмущенной и (невозмущенной траекториям. Здесь х 1) означает всю траекторию при t Ьо-Нужно лишь, чтобы возмущенное решение (пусть с отставанием или опережением) не выходило за пределы е-окрестности невозмущенного. Если при 1 00 расстояние (1 между возмущенным и невозмущенным решениями стремится к нулю, то устойчивость называется асимптотической. Если же, кроме того, 1 ехр(— ) (а 0), начиная с некоторого I 1о, то она называется экспоненциальной. [c.131] Возвращаясь сейчас к определению устойчивости системы, можно добавить система устойчива в малом, если ее состояние равновесия устойчиво по Ляпунову система устойчива в большом, если устойчивость состояния равновесия имеет место для всей конечной области — шара х — Х К. [c.131] Говорят, что система абсолютно устойчива, если у нее лишь одно состояние равновесия, асимптотически устойчивое во всем фазовом пространстве система глобально асимптотически устойчива, если любая ее траектория стремится к какому-нибудь состоянию равновесия. Заметим, что понятия, связанные с устойчивостью системы, наиболее широко употребляются в теории управления и теории автоматического регулирования [2]. [c.131] Когда а О, то даже при сколь угодно малых жо решение (6.4) не удовлетворяет неравенству x t) s, если t велико оно стремится к бесконечности для любых Хд ф 0. Таким образом, решение X = О неустойчиво при а О (рис. 6.2). [c.132] Вернуться к основной статье