ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ Линейный осциллятор из "Введение в теорию колебаний и волн " Книг по теории колебаний и различным вопросам теории волн сейчас довольно много. Одни из них посвящены, в основном, математическому аппарату теории, другие — детальному исследованию сравнительно узкого круга проблем, третьи — исключительно математическим, биологическим или иным системам определенной природы. Причем теория колебаний и теория волн обычно составляют предмет различных книг. Цель этой книги — познакомить читателя с современной теорией колебаний и волн по возможности шире, совместив при этом наглядность изложения с достаточным для физика уровнем строгости. Книга построена таким образом, что на первый план выдвигаются не формальные методы, а основные колебательно-волновые явления и эффекты. Мы стремились показать единство колебательных явлений природы, рассматривая примеры из самых различных областей. [c.9] Книга разделена на две части в первой обсуждаются колебания и волны в линейных системах и средах, во второй — в нелинейных. С нашей точки зрения, такое разделение значительно облегчает восприятие теории колебаний и волн на современном уровне. Так, распространение плоской гармонической волны в периодически слоистой среде описывается практически той же математической моделью, что и явление параметрической неустойчивости в сосредоточенной системе с одной степенью свободы, и их параллельное рассмотрение вполне естественно. Анализ же, например, автоколебаний в возбудимой среде — ансамбле автогенераторов — представляется непосредственным обобщением задачи о взаимодействии небольшого числа генераторов и т. д. [c.9] Помимо разделов, традиционно входящих в программы курсов по теории колебаний и теории волн, в книге содержится совсем новый материал, который до настоящего времени практически не излагался в монографической и, тем более, в учебной литературе. Это, в частности, анализ стохастического поведения простых систем, обсуждение связи гидродинамической турбулентности со стохастическими автоколебаниями и их математическим образом — странным аттрактором, рассмотрение основных идей и феноменов теории самоорганизации — нового раздела теории нелинейных колебаний и волн. [c.10] Мы пользуемся случаем, чтобы выразить свою глубокую благодарность Андрею Викторовичу Гапонову-Грехову, по инициативе которого написана эта книга. Многолетняя совместная работа и общение с ним одного из авторов сыграли решающую роль в ее создании. Мы признательны также нашим коллегам и сотрудникам Института прикладной физики АИ СССР, ИИИ механики и физики при СГУ, радиофизического факультета ГГУ и физического факультета СГУ за многократные полезные дискуссии по затронутым в книге проблемам. [c.10] Идея о колебательной общности кажущихся непохожими на первый взгляд явлений самой различной природы (механических, электромагнитных, химических, биологических и т.д.) в наше время представляется естественной не только искушенным исследователям, но даже вчерашним школьникам. Действительно, в ответ на вопрос, что такое гармонический осциллятор, многие из них приведут в качестве примера и маятник ходиков , и электрический контур, составленный из емкости и индуктивности одновременно. Тем не менее и сегодня колебательные явления и эффекты, наблюдаемые в не столь тривиальных ситуациях, зачастую не всегда легко связать с основными элементарными процессами. Особенно это относится к волновым задачам. Поэтому имеется насущная потребность в учебном курсе, в котором современная теория колебаний и волн предстала бы перед читателем своими явлениями и эффектами, обнаруживаемыми в самых различных приложениях, по допускающими единое описание и понимание. Подчеркнем, что, хотя формально единство колебательных и волновых процессов совершенно различной природы основывается на сходстве математических моделей, оно не исчерпывается им. Ничуть не менее важным является межведомственная система понятий, моделей и приближений, позволяющая ориентироваться в чрезвычайном разнообразии колебательных и волновых процессов, которые встречаются в природе и технике. [c.11] Попытаемся кратко сформулировать предмет теории колебаний и волн. Теория колебаний и волн — это область науки, исследующая колебательные и волновые явления в системах различной природы причем эта теория в первую очередь интересуется общими свойствами колебательных процессов, а не деталями поведения системы, связанными с проявлением ее конкретной природы (физической, биологической и т.д.). Основываясь на анализе моделей, теория колебании и волн устанавливает общие свойства в реальных системах. Содержание теории заключается в том, что она позволяет определить связь между параметрами системы и ее колебательными или волновыми возможностями в случае тех или иных эффектов. [c.11] Подчеркнем еще раз, что на основе сложившихся представлений теории колебаний и волн можно связать те или иные явления в конкретной системе с ее характеристиками, фактически не решая задачи. Например, когда речь идет о преобразовании энергии одних колебаний в другие в слабо нелинейной системе или среде, будь то волны на воде, электромагнитные колебания в ионосфере или колебания маятника на пружине, можно сказать сразу, что такое преобразование возможно только в случае, когда выполнены определенные резонансные условия между собственными частотами подсистем. [c.12] Впервые наиболее ясно мысль о колебательном единстве, казалось бы, совершенно разных явлений высказал Рэлей в своей Теории звука , в которую он поместил дополнительную главу об электрических колебаниях, подчеркивая, что оба вида малых колебаний — звуковые и электрические — в определенном смысле одинаковы. Книга Рэлея — это фактически первый курс теории колебаний и волн в линейных системах — линейных колебаний . [c.12] Уже в первые десятилетия нашего века нелинейные проблемы обсуждались не только применительно к механике (задача трех тел, волны на воде и т. д.) и к акустике, но и в связи с исследованием свойств твердых тел (учет ангармоничности колебаний атомов в кристаллической решетке в теории теплопроводности). Нелинейные задачи ставились зарождающейся радиотехникой (детектирование и генерация колебании) они непрерывно появлялись в других разделах науки и техники. Однако нелинейные трудности в этих различных областях казались совершенно специфическими и не связанными друг с другом. И лишь в 20-30-е годы в значительной мере благодаря деятельности Леонида Исааковича Мандельштама — создателя советской школы нелинейных физиков — среди специалистов различных областей физики и техники начало вырабатываться нелинейное мышление , и они начали перенимать нелинейный опыт друг у друга. Общность нелинейных явлений различной природы и общность их моделей, образов и методов рассмотрения стали почти очевидными. Сформировался своеобразный нелинейный язык, оперирующий такими понятиями, как нелинейный резонанс, автоколебания, синхронизация, конкуренция, параметрическое взаимодействие и т. д. Этот язык сопутствовал формированию современной теории колебаний и волн. [c.13] Интенсивные исследования нелинейных волн начались лишь в 60-е годы именно тогда родились нелинейная физика плазмы, нелинейные оптика и акустика, электродинамика, физика высоких энергий (включающая физику взрыва и ударных волн). Появилась нелинейная термодинамика, описывающая переходы в системах (в частности, химических и биологических), далеких от термодинамического равновесия. [c.14] Сейчас построена, в основном, подтверждаемая экспериментом теория перехода от детерминированного поведения к стохастическому для самых разнообразных динамических систем (гидродинамических течений, радиотехнических генераторов случайных сигналов, автока-талитических химических реакций и др.). [c.15] Может показаться естественным, что если уже поведение системы с малым числом степеней свободы может быть сложным, то система с бесконечным числом степеней свободы заведомо должна демонстрировать случайное поведение. Однако в общем случае это не так. В свое время была выдвинута гипотеза о том, что в системах с очень большим числом степеней свободы наличия даже слабой нелинейности достаточно, чтобы энергия, запасенная в отдельных степенях свободы, распределилась по всем модам и таким образом установилось термодинамическое равновесие. Для поддержания этих представлений в конце 40-х годов была проведена серия численных экспериментов с моделями нелинейных цепочек из большого числа частиц, но термализации не обнаружилось — система периодически возвращалась в состояние с начальным распределением энергии (парадокс Ферми-Паста-Улама). В действительности нелинейные волновые системы бывают двух типов — интегрируемые (или близкие к ним), они демонстрируют лишь простое периодическое или квазипериодическое поведение, и неинтег-рируемые. Неинтегрируемые системы при достаточно большой начальной энергии стохастизуются. По случайному стечению обстоятельств цепочка, с которой работали Ферми, Паста и Улам, при выбранных ими значениях параметров оказалась близкой к интегрируемой. [c.15] И в интегрируемых, и в неинтегрируемых системах возможно существование частных решений, соответствующих так называемым когерентным образованиям, или пространственным структурам. Пример — солитоны, стационарные ударные волны и др. [c.16] Когерентные нелинейные образования сейчас детально исследованы в физике твердого тела (домены), в физике плазмы (ленгмюров-скпе солитоны), в геофизике и океанологии (циклоны и антициклоны, ринги), в физике планетных атмосфер (Красное пятно Юпитера), в нелинейной оптике (сверхкороткие импульсы). Сейчас есть надежда на подтверждение представлений об элементарных частицах как о солито-нах квантовых полей. [c.16] С точки зрения биофизики чрезвычайно интересны когерентные образования в диссипативных неравновесных средах — диссипативные структуры и автоволны . Примерами таких автоволн и диссипативных структур служат волны горения, импульсы возбуждения в нервных и мышечных волокнах, пространственно-временное изменение численности в популяциях организмов, концентрационные волны в автокаталитических химических реакциях. Основная особенность этих пространственно-временных структур заключается в том, что они слабо зависят от свойств источника неравновесности, граничных условий и начального состояния среды. Диссипативные структуры в неравновесных средах сейчас представляют собой чрезвычайно привлекательный объект исследования как одна из наиболее типичных и естественных форм самоорганизации. [c.16] Конечно, в рамках одной книги, в которой обсуждению последних результатов предшествует подробное изложение классической теории, невозможно познакомить читателя с современной теорией колебаний и волн (в особенности нелинейной) в полной мере. Мы, однако, надеемся, что заключительные главы книги послужат введением в эту чрезвычайно увлекательную область науки. [c.16] Вернуться к основной статье