ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Рекуррентные соотношения и дифференциальные уравнения из "Лекции по небесной механике " Многочлен степени т содержит (2т - - 1) произвольных коэффициентов, так как а, так же как и , может принимать (2т - - 1) значений. [c.414] Так как мы интегрируем вдоль замкнутого контура, эта величина примет одинаковые значения на концах промежутка интегрирования, и поэтому интеграл равен нулю. [c.414] Покажем, что 15 есть целый многочлен относительно х, —, ,и прежде всего, что это есть однозначная функция. [c.415] Если обратиться теперь к исследованию Пикара ), то можно сделать вывод, что это не может иметь места без того, чтобы циклический период не обращался в нуль, если Р есть наиболее общий многочлен своей степени. [c.416] При Р = а функция является бесконечно большой (в — 1)-го порядка, если только Р не делится на некоторый полный квадрат, а этого не может быть, если Р является многочленом наиболее общего вида. Если же функция не делается бесконечной целого порядка, то из этого следует существование полярного периода. [c.416] В силу уравнения (6) этот период должен быть постоянным, не зависящим от г/. Мы утверждаем, что эта постоянная равна нулю. [c.416] Предыдущие рассуждения ие проходят всякий раз, когда F приводится к полному квадрату при а = 0. [c.417] Следовательно, U изменяется на U = h — U, где h — постоянная, которая не может зависеть от у. Здесь уравнение (6) неприменимо и разность U—V не является независимой от у. [c.417] Таким образом, h является абсолютной постоянной. Более того, если взять другой аналогичный контур, который изменяет и я U = h — и, то постоянные huh будут тождественно равны в противном случае интеграл допускал бы период h — h. Так как постоянная h одинакова для всех контуров, то мы можем выбрать постоянную интегрирования таким образом, чтобы А = 0. Тогда наш интеграл будет допускать только два значения, и и —и. Кроме того, знак U изменится одновременно со знаком УР, так что - -= и, следовательно, S есть однозначная функция. [c.417] При F = а производные будут бесконечными (s — 1)-го порядка, и будет бесконечной (s — 2)-го порядка и S остается конечной. [c.417] Следовательно, 8 есть многочлен (А — 2/ — 2(о)-й степени, зависящий от 2/1 — 4/ — 4(0 + 1) произвольных коэффициентов. [c.418] Мы видим, что оно не зависит от А и . Следовательно, какова бы ни была ббльшая степень А многочлена Н, мы всегда будем иметь лишь 8 (/ + (о) различных выражений П. [c.418] Заметим, что выражения, для которых = о, являются частными случаями тех, для которых в = о + 1. так как мы можем заменить 5 на + 1, Я на НГ, не изменяя при этом выражения П. Итак, все выражения вида П, каково бы ни было число , степень многочлена Н и сам этот многочлен, можно выразить линейным образом при помощи 8 (/ + (о) из них. [c.418] Многочлен степени т, обладающий такой симметрией, содержит только 2лг + 2т + 1 произвольных коэффициентов, поэтому мы будем иметь 2А + 2А + 1 многочленов Я. [c.419] Здесь положено 0 (А) = 2А + 2А+1. Следовательно, это число будет равно 4 (/ + со) . [c.420] Этот многочлен не изменится, если заменить и т) на — и —Т1, и будет играть роль многочлена F. При этом будем иметь / =2. [c.420] Многочлен Q в свою очередь будет симметричным многочленом первой степени относительно у, tj,, так что (о = 1. [c.420] В самом деле, теорема Пикара применима ьсякий раз, когда многочлен Р не разлагается на множители. [c.422] Это имеет место для многочлена А в общем случав задачи трех тел. Когда наклонность равна нулю, многочлен А является разложимым, и в этом случае теорема Пикара также применима. [c.422] Вернуться к основной статье