ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Коэффициенты Лапласа из "Лекции по небесной механике " Требуется разложить в ряд, но учитывая соображения, приведенные в 215, мы рассмотрим разложение где 2s—произвольное целое нечетное число ). [c.353] Мы всегда можем считать, что а 1, так как для этого достаточно предположить, что а означает меньшую из двух больших полуосей. [c.353] Коэффициенты называются коэффициентами Лапласа. [c.353] С другой стороны, соотношения (5) дадут еще два уравнения между этими четырьмя неизвестными. [c.355] Мы можем преобразовать второй интеграл, интегрируя по частям и замечая, что интегрирование производится вдоль замкнутого контура, так что проинтегрированная часть исчезает. [c.355] Это и есть искомое рекуррентное соотношение. [c.356] ЧТО позволяет выразить производные от через и, следовательно, через 6. [c.356] Формула (И) дает разложение коэффициентов Лапласа по возрастающим степеням а. Заметим прежде всего, что делится на и является четной или нечетной функцией а в зависимости от того, четно или нечетно к. [c.357] Остаются особые точки а = 1. Достаточно рассмотреть особую точку а = +1, так как дифференциальное уравнение не меняется, если заменить а на —а. [c.359] Отсюда видно, что ряд (11) сходится при а 1 и расходится при aj l. Можно также заметить, что эти результаты вытекают непосредственно из известных свойств гипергеометрическо-го ряда. [c.359] Пусть Р (и)—двояко-периодическая функция и пусть 01, Ог,. .. [c.360] С — некоторая постоянная. Формула (16) и представляет разложение функции Р (и) на простые элементы. [c.361] Добавим, что при = у подынтегральная функция в интеграле (15) обращается в бесконечность только при и = 0. [c.362] Но Л А зависит рациональным образом от а. То же самое имеет место и для g (0)1) ( 2) ( з), которые являются производными функции (и) при и = (Oi, ь 2 или (0 ,, а мы помним, что эти производные являются рациональными функциями величин j, 62, 3 и, следовательно, а. Равенство (19), следовательно, указывает на то, что С является рациональной функцией а. [c.363] Рассмотрим второй случай, а . [c.364] Заметим, что Юз и т)з—чисто мнимые величины. [c.365] Поэтому I или 1 меньше 0,08, тогда как Л или меньше 0,04. Ряды, расположенные по степеням к, которые являются не чем иным, как рядами Якоби для функции 0 или аналогичными разложениями, содержат только такие члены, показатели которых являются точными квадратами целых чисел. Поэтому они сходятся очень быстро. [c.365] Вернуться к основной статье