ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение функций Бесселя из "Лекции по небесной механике " Теперь предстоит выразить координаты Хх и х ъ функции средней аномалии I, для чего мы должны напомнить свойства функций Бесселя, которыми будем пользоваться. [c.323] Формула (6) позволяет рассматривать функции Бесселя только с положительным индексом. [c.325] Предположим, что х вещественно, положительно и очень велико. Вместо того чтобы интегрировать вдоль прямой, соединяющей точку z = — 1с точкой Z = + 1, т. е. придавая переменной Z вещественные значения, мы можем выполнить интегрирование вдоль другого пути, имеющего те же концы. [c.326] Выберем такой путь, чтобы мнимая часть z была постоянно положительной, за исключением, разумеется, двух концов z = 1. При этих условиях вещественная часть ixz будет отрицательна и очень велика, а поэтому весьма мала. Следовательно, только части пути, близкие к концам, дадут заметные части интеграла, так как на концах z делается вещественным, а вещественная часть ixz обращается в нуль. [c.326] Но мы можем заменить верхние пределы 1 4- е в обоих интегралах на бесконечность, так как мы добавляем этим к пути интегрирования части, вдоль которых мнимая часть г положительна и где пренебрежимо мала. [c.327] Последняя формула показывает, что коэффициент А о равен единице при р = О, — у при р = 1 и нулю для всех других значений р. [c.328] Заменяя на — , выведем отсюда разложение для X — гУ и, следовательно, разложения для X и У. [c.330] Пусть теперь наша система отнесена к произвольным осям. Вспомогательные величины X и У всегда определяются как в 63, и их разложения в функции переменных а, е и 2 не изменятся. Прямоугольные координаты, отнесенные к новым осям, будут лвязаны с X и У посредством равенств (12) из 63. [c.330] Мы заменим букву I, обозначающую в формулах 63 наклонность, буквой /, чтобы избежать путаницы с I — У — 1. Выражение для Хх — 1x2 получим, заменяя I на — 1. [c.331] Все разложения, о которых мы говорим, таковы, что каждый их член зависит только от конечного числа функций Бесселя. Следует отметить, что, используя соотношения (7), (9) и (12), можно сделать так, чтобы каждый член содержал лишь (тпе) и J m (те). [c.333] Последнее выражение очень малб, если е очень малб, а т конечно, но, с другой стороны, каково бы ни было е, оно неограниченно возрастает вместе с т. Поэтому для членов более высокого порядка мы получим лучшее приближение, заменяя функции Бесселя их приближенными значениями, приведенными в 225. [c.334] Таким образом, если расположить члены ряда указанным образом, то сходимость обеспечена, но этого не будет, если сначала разлагать в ряд по степеням е, коэффициенты которого будут функциями I. [c.335] Пусть задана произвольная функция и, зависящая, следовательно, от е и Z. Мы разлагаем ее по степеням е. Каков радиус сходимости этого ряда, т. е. каково наибольшее значение е, при котором ряд еще сходится Это значение, очевидно, зависит от I, и мы обозначим его через ф (/). Если тогда М есть наименьшее из значений ф (Z), когда I принимает все возможные вещественные значения, то сходимость ряда будет несомненной, пока е не превзойдет М. [c.335] Уравнения (30) и (31) определяют е и ее абсолютное значение е в функции I и наименьшее из всех значений е есть ф (Z). [c.335] Уравнения (30) и (31) не изменятся, если заменить и, I я е на и -j- я, i + я, — е. Отсюда следует, что критические значения е, соответствуюпще I я I - - л, имеют одно и то же абсолютное значение ф (/) = ф (Z - - л), но имеют разные знаки. [c.336] Вернуться к основной статье