ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Симметрия обобщенных напряжений из "Теория упругости " Таким образом, если считать температуру нагрева заданной функцией координат, то учет нагрева сводится формально к появлению в уравнениях дополнительной объемной силы, которая в каждой точке тела будет пропорциональна градиенту температуры в данной точке. [c.198] Сопоставив (10.7) и (10.8) с (7.3), видим, что изменение температуры в течение деформации приводит к появлению в граничных условиях дополнительных членов, которые могут быть истолкованы как дополнительная нормальная к поверхности тела фиктивная нагрузка, распределенная на тех участках поверхности, ограничивающей тело, где краевые условия формулируются в напряжениях. Что касается участков границы тела, где заданы перемещения, то для них формулировка краевых условий остается прежней. Из того факта, что изменение температуры в течение деформации формально эквивалентно появлению в уравнениях равновесия и граничных условиях некоторых дополнительных внешних объемных и поверхностных сил, вытекает, что путем одного только нагрева (или охлаждения) упругого тела можно вызвать в нем напряжения (коль скоро свобода теплового расширения тела будет стеснена закреплением его границ). [c.199] Рассмотрим, например, прямой стержень с жестко закрепленными концами, свободный от напряжений. Если такой стержень подвергнуть нагреву, то в силу теплового расширения он будет стремиться увеличить свою длину, что, однако, не допускается имеющимися граничными условиями. Поэтому в стержне должны возникнуть упругие деформации обратного знака (т. е. деформации сжатия), сопровождающиеся появлением соответствующих напряжений. [c.199] Задачи такого класса, когда напряжения возникают именно за счет изменения температуры без приложения внешних нагрузок, принято называть задачами на температурные напряжения. По методам решения эти задачи (если считать, что распределение температуры Т(л , у, г) задано) не отличаются от других статических задач теории упругости, поскольку изменения вносятся при этом только в свободные члены дифференциальных уравнений. Следует подчеркнуть, что температурные деформации (в пределах справедливости принятого в начале этого параграфа допущения о диапазоне изменения температуры) могут быть не только сравнимыми с упругими деформациями, соответствующими пределу упругости, но и значительно их превосходить. В соответствии с этим температурные напряжения могут представлять опасность для конструкций и должны учитываться. [c.199] Если вектор перемещения является функцией не только координат, но и времени, то бесконечно малый объемный элемент, выделенный около произвольной точки тела М х, у, г), будет двигаться с ускорением и, причем на него будет действовать инерционная сила — рвйУ (где дУ — объем рассматриваемого элемента), а р — плотность тела в точке М. В соответствии с началом Д Аламбера уравнения, описывающие движение элемента, могут быть получены путем рассмотрения условий его равновесия с учетом всех действующих на него сил. включая инерционную. [c.199] Из сказанного выше следует, что уравнения движения сплошного (в частности, упругого) тела могут быть получены, если в уравнения статики объемного элемента ввести дополнительные объемные силы (11.2). [c.200] В системе (11.3) в отличие от (7.1), перемещения являются функциями не только координат, но и времени. В соответствии с этим при формулировке задач динамической теории упругости надо, помимо граничных условий, ставить еще и начальные условия, т. е. необходимо иметь заданными в некоторый момент времени t = tQ значения перемещений и, г/, да и скоростей и, V, да во всех точках тела. Что касается граничных условий, то они в динамических задачах формулируются аналогично статическим задачам (т. е. путем задания в каждой точке поверхности тела трех условий, сформулированных либо непосредственно в перемещениях, либо в форме задания компонентов внешних поверхностных сил). Разница состоит лишь в том, что в динамических задачах краевые значения перемещений или внешних сил могут зависеть не только от положения точки на поверхности тела, но и от времени. [c.200] Поскольку, однако, тело является деформируемым и его точки могут смещаться одна относительно другой с возникновением при этом внутренних сил, возрастающих с увеличением относительного смещения, постольку при приложении к поверхности тела внешней нагрузки его точки будут вовлекаться в движение не внезапно, а постепенно. Сначала придут в движение точки, непосредственно воспринимающие приложенную нагрузку. Это движение будет сопровождаться возникновением деформаций в области тела, непосредственно прилегающей к месту приложения нагрузки, в результате чего там возникнут упругие силы, которые приведут в движение следующий слой точек тела, который в свою очередь, через посредство упругих сил, передает движение на точки, находящиеся за ним, и так далее, пока движением не будут охвачены все точки тела. [c.201] Таким образом (на основании пока что только общих соображений, которые, однако, ниже будут подкреплены и математическими выкладками), мы приходим к заключению, что в упругих телах деформации должны распространяться постепенно, с конечными скоростями. Поскольку абсолютно твердое тело можно трактовать как физический предел, к которому стремится упругое тело при увеличении его жесткости до бесконечности, можно заключить, что скорости распространения деформации в упругих телах (при прочих равных условиях) должны возрастать с увеличением модулей упругости. [c.201] Отметим еще одно отличие упругих тел от абсолютно жестких с точки зрения задач динамики. Если к поверхности абсолютно жесткого тела внезапно приложить нагрузку, главный вектор и главный момент которой равны нулю, то тело в целом (т. е, все его точки) останется в покое. Иначе будет в случае упругого тела, поскольку в нем равновесие между поверхностной нагрузкой и напряжениями в соответствующих точках поверхности тела может установиться только при соответствующей деформации тела. Отсюда следует, что в первый момент приложения нагрузки она может быть уравновешена только за счет сил инерции, обусловленных движением точек тела, непосредственно воспринимающих нагрузку. Далее последует описанный выше процесс передачи движения в глубь тела, в результате которого в конце концов все точки тела будут вовлечены в движение. [c.201] Таким образом, из того факта, что главный момент и главный вектор всех сил, приложенных к упругому телу, в каждый момент времени равны нулю, нельзя сделать еще заключение, что тело находится в покое. [c.201] Однако несмотря на частный характер данного решения, вытекающий из него вывод о том, что в упругих телах следует различать волны деформации двух различных типов, распространяющиеся с двумя различными характерными для материала рассматриваемого конкретного тела скоростями, имеет общее значение и это можно показать путем следующих рассуждений. [c.202] Таким образом, оказывается, что объемное расширение е и вектор поворота W подчиняются одному и тому же уравнению (которое в математической физике принято называть волновым), причем скорость распространения деформации е равна а, а скорость распространения (О равна Ь. На этом основании а можно назвать скоростью распространения объемного расширения, а Ь — скоростью распространения поворотов. [c.203] В решение конкретных задач динамической теории упругости входят, как правило, волны обоих типов, причем их фронты могут иметь сложную изменяющуюся во времени форму. К этому следует добавить, что на поверхности упругого тела и в непосредственной близости от нее могут возникать специального рода (не учитываемые в предыдущих рассуждениях) волны, так называемые волны Редея, имеющие для каждого материала свою характерную скорость и в некоторой мере аналогичные волнам, возникающим на поверхности ЖИД140СТИ. [c.203] Из всего этого видно, что картина динамических деформаций упругих тел обычно весьма сложна и, соответственно этому, решение данных задач, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Не следует думать, однако, что проблема исследования уравнений динамики упругого тела целиком сводится к изучению возникновения и развития волновых процессов. С практической точки зрения отнюдь не меньшее значение имеет изучение установившихся свободных или вынужденных колебаний упругих тел. [c.203] Хотя такого рода колебания и могут трактоваться как стоячие волны, образующиеся в результате наложения двух идентичных встречных волн, однако, помимо этого общего подхода, задачи указанного класса могут решаться методами, не зависящими от теории распространения волн. Существенной оказывается при этом периодичность движения точек тела, совершающего установившиеся колебания, благодаря которой оказывается уместным применение в данном случае метода Фурье, существенно упрощающего получение конкретных результатов. [c.203] Таким образом, в динамике упругих тел следует различать два класса задач—задачи о вибрации и задачи о распространении волн. Однако, как уже было сказано, принципиального различия между этими двумя классами нет, поскольку первый класс может рассматриваться как подкласс второго. [c.204] Согласно III (5.5) работа напряжений на перемещениях, статически им соответствующих, всегда равна работе на этих же перемещениях всех внешних и поверхностных сил, действующих на находящееся в равновесии сплошное тело. Этот результат был доказан для любых, в том числе и для неупругих тел. Применим его к частному случаю, когда тело упруго и подчиняется при этом закону Гука. [c.205] В — будем называть в дальнейшем фиктивной дополнительной энергией деформации. [c.206] В формулах (13.1), (13.2) опущены звездочки ( ) при напряжениях, поскольку использование закона Гука уже предполагает, что удлинения и сдвиги весьма малы по сравнению с единицей. Что касается поворотов, то пока на них не наложено никаких ограничений. [c.206] Вернуться к основной статье