ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные условные обозначения из "Теория упругости " (г) — функция, конформно отображающая заданную односвязную область плоскости г на единичный круг плоскости С. [c.8] Примечания 1. Некоторые буквы, приведенные выше, используются также для обозначения индексов суммирования, коэффициентов в рядах, констант интегрирования. Этого было трудно избежать, используя (в основном) только латинский и греческий алфавиты. Имелось в виду, что это вряд ли может привести к недоразумениям. [c.8] Предметом теории упругости является определение деформаций и внутренних усилий, возникающих в идеально упругих твердых телах под действием заданных внешних сил и при заданных условиях закрепления. При этом могут рассматриваться и такие задачи, в которых инерционные силы частиц тела равны нулю (или пренебрежимо малы по сравнению с силами упругости), и такие, в которых инерционные силы существенны и не могут быть отброшены. Первые будем называть задачами статики упругих тел, а вторые — динамическими задачами теории упругости. [c.9] В соответствии с данной выше формулировкой к статическим задачам теории упругости будут относиться и те задачи, в которых деформация тела с течением времени изменяется, но это изменение происходит настолько медленно, что в каждый момент деформирования внешние силы можно считать находящимися в равновесии с силами упругости. В частности, будем считать, что тело нагружается статически, если в течение всего процесса возрастания нагрузки от нуля до заданной окончательной величины имеет место указанное выше равновесие внешних сил и сил упругости. [c.9] Теория упругости как стройная научная дисциплина зародилась в начале XIX столетия, когда почти одновременно Л. Навье (1821) [54], А, Коши (1822) [40] и С. Пуассон (1829) [55] вывели общие уравнения равновесия и движения упругих тел и дали правильную постановку соответствующих задач. При этом допускалось, что перемещения точек тела весьма малы и что соотношения между напряжениями и деформациями линейны. [c.9] Данный вариант теории упругости (получивший значительное развитие в прошлом веке и продолжающий развиваться в нынешнем) условимся называть классической теорией упругости. Характерной чертой этого варианта является линейность всех его формул относительно искомых величин (перемещений, деформаций, напряжений и их производных), ввиду чего классическую теорию упругости уместно называть также линейной теорией упругости. [c.9] Однако не только эта область применения характеризует практическое значение теории упругости. [c.10] Однако свойственный сопротивлению материалов упрощенный подход исключал из поля его возможностей многие сложные задачи, решение которых давала только теория упругости. [c.10] Таким образом, за последней оставалось место науки, позволяющей в принципе подойти к решению проблемы расчета напряжений и деформаций в упругом теле произвольной формы под действием любой нагрузки. Те гипотезы, которыми пользуются при расчетах в сопротивлении материалов, могут быть оценены и обоснованы путем решения уравнений теории упругости, вследствие чего последнюю надо рассматривать как своего рода высшее сопротивление материалов. [c.10] Главное практическое значение теории упругости и состоит в настоящее время именно в том, что она (в совокупности с теорией пластичности, о которой будет сказано несколько ниже) является теоретическим фундаментом для суждения о прочности и жесткости любых сооружений под действием как статических, так и динамических нагрузок. [c.10] Мы уже отмечали, что теория упругости начала свою историю как линейная теория. Это не является случайным. Для математической физики XIX века вообще характерна тенденция линеаризировать уравнения, примерами чего являются теория малых колебаний, теория потенциального течения идеальной жидкости и уравнения акустики. Уровень развития техники того времени в большинстве случаев и не требовал иного подхода. [c.10] Это утверждение отнюдь не следует понимать в том смысле, что линейная теория упругости утратила в настоящее время свое значение существуют многие задачи, в которых условия ее применимости, соблюдаются. Естественно, что нет никакой необходимости трактовать данные задачи в значительно более сложной нелинейной постановке. Речь идет, таким образом, не о сужении роли линейной теории упругости, а о существенном расширении класса задач, представляющих практический интерес. [c.11] Выше было указано, что развитие нелинейной теории упругости стимулировалось, в частности, и необходимостью исследования пластических деформаций конструкций. Это утверждение нуждается в пояснении. Вообще говоря, задача теории пластичности более сложна, чем задача теории упругости, так как если в упругих телах напряжения и деформации связаны между собою однозначной зависимостью, то в пластических телах связь между деформациями и напряжениями может быть установлена лишь в форме неинтегрируемых дифференциальных соотношений. Ввиду этого решение задач теории упругости не зависит от того, в каком порядке происходит нагружение, прежде чем внешние силы, действующие на тело, достигают своих окончательных величин, тогда как решения задач теории пластичности становятся определенными лишь в том случае, если известна вся последовательность нагружения тела (т. е. тот закон, по которому изменялись внешние силы в процессе нагружения). Однако в одном очень важном для практики частном случае (а именно в случае так называемого простого нагружения, когда все напряжения в теле изменяются пропорционально одному и тому же параметру) формулы теории пластичности вырождаются в формулы нелинейной теории упругости. В этом и заключается взаимосвязь, существующая между данными двумя теориями. [c.11] Основоположники теории упругости А. Коши и Л. Навье рассмдт-ривали твердое тело как совокупность материальных точек (молекул), удерживаемых на определенных расстояниях друг от друга силами взаимодействия. При этом предполагалось, что силы взаимодействия каждой пары молекул направлены по прямой, их соединяющей, и линейно зависят от расстояния между ними. Таким образом, с самого начала теория упругости строилась на основе представления о молекулярной структуре вещества твердого тела. При этом, однако, сразу же обнаружилось, что ввиду исключительно большого числа элементарных материальных частиц и ничтожно малых расстояний между ними (по сравнению с размерами тела) теория неизбежно должна была принять статистический характер. [c.12] В теории упругости пользуются также понятиями однородности и изотропности тела, которым противостоят обратные понятия — неоднородности и анизотропности. Однородным называют тело, упругие свойства материала которого одинаковы во всех его точках. [c.12] Соответственно, изотропным называют тело, упругие свойства которого одинаковы во всех направлениях (в таком теле зависимость между напряжениями и деформациями не изменяется при повороте координатных осей). Примером анизотропных тел являются, как известно, кристаллы, упругие и пластические свойства которых существенно зависят от направления, в котором кристаллу придается деформация (например, растяжение). [c.13] Все применяемые в технике металлы и их сплавы имеют так называемую поликристаллическую структуру при рассмотрении под микроскопом отшлифованных образцов обнаруживается, что металл представляет собою конгломерат кристаллических зерен, каждое из которых заключает в себе множество более или менее правильно ориентированных кристаллов. Размеры этих зерен в зависимости от химического состава сплава и его термомеханической обработки могут колебаться в довольно широких пределах (от долей микрона до десятков микронов). Что же касается формы зерен, то она в большинстве случаев оказывается совершенно произвольной. Произвольной оказывается также и ориентация в них кристаллов по отношению к ориентации кристаллов в прочих зернах. [c.13] Из сказанного следует, что поликристалл по существу и неоднороден и анизотропен (если сравнивать между собою выделенные из него образцы, размеры которых одного порядка с размерами кристаллических зерен). Однако при сравнении между собою образцов, размеры которых весьма велики по сравнению с размерами отдельного зерна, оказывается, что, ввиду произвольности ориентации зерен и колебания их размеров в ограниченных пределах, поликристалл ведет себя как однородная и изотропная сплошная среда. Таким образом, понятия однородности и изотропности носят в большинстве случаев статистический характер. [c.13] При расчетах напряжений и деформаций поликристаллических тел с помощью уравнений теории упругости следует помнить, что получаемые при этом результаты будут представлять собою средние значения указанных величин в окрестности рассма риваемой точки тела (причем объем той области, в которой производится осреднение, будет во много раз больше объема кристаллического зерна). К этому следует добавить, что условия изготовления, а также различного рода механическая обработка вносят в металл (или сплав) более или менее существенную анизотропию и неоднородность, ввиду чего можно говорить лишь о приближенной однородности и изотропности реальных материалов. [c.13] В нашей книге мы будем пользоваться в дальнейшем еще целым рядом идеализированных понятий (например, понятием тела, свободного от напряжений, понятием сосредоточенной поверхностной силы и т. д.). Однако вряд ли было бы целесообразно знакомить читателя со всеми этими понятиями уже во введении. Здесь было важно остановиться только на основных, краеугольных понятиях, лежащих в основе теории упругости. [c.13] Вернуться к основной статье