ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Главные колебания и собственные частоты из "Теоретическая механика Часть 2 " Напомним еще раз, что здесь = и ij = ji. Таковы дифференциальные уравнения малых колебаний системы с к степенями свободы. [c.451] Где а 1), а(2).а( , к, р — постоянные числа. [c.451] Как видно, уравнение частот является уравнением e-й степени относительно Х . Можно показать, что все корни этого уравнения— вещественные положительные числа. [c.452] В самом деле, заметим, что если Х удовлетворяет уравнению (3), то уравнения (2) допускают бесчисленное множество решений относительно а 1), а ),. .., ai . При этом, если Х — вещественное число, то и величины а , а( ,. .., aW, удовлетворяюш,ие уравнениям (2), — вещественные числа если же Х — комплексное число, то и величины а , af ),. .., а ,—также, вообще говоря, числа комплексные. [c.452] Покажем теперь, что комплексных чисел Х , удовлетворяющих уравнению (3), в действительности не может быть. [c.452] Каждому из этих частных решений соответствует некоторое гармоническое колебательное движение нашей системы. Эти к гармонических колебательных движений системы называются ее главными колебаниями. Частоты главных колебаний Xj, Xg,. .., называются собственными частотами системы. [c.455] Так как система (3) 152 — 2k-ro порядка, то решение (8), содержащее 2k произвольных постоянных a , 9 (г = 1,2. k), является самым общим решением этой системы. Отсюда следует, что самое общее колебательное движгнае нашей системы является результатом наложения ее k главных колебаний. В этом состоит принцип наложения малых колебаний. [c.456] Произвольные постоянные а , З , входящие в общее решение (8), определяются по начальным данным, т. е. по начальным значениям обобщенных координат q , q ,. .., qi , и обобщенных скоростей q, q ,. .., q j . Определяя таким образом и [5 , мы получаем в общем случае сложное колебательное движение, в которое входят все главные колебания системы. Само собой понятно, что всегда можно распорядиться начальными данными так, чтобы получить любое главное колебание в чистом виде. Так, например, чтобы вызвать первое главное колебание системы, нужно выбрать такие начальные условия, чтобы было ai О, = = = = Очевидно, что в этом случае уравнения (8) обратятся в уравнения, соответствующие первому главному колебанию. [c.456] Вернуться к основной статье