ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Лагранжевы уравнения движения для системы с лишними координатами. Лагранжевы множители из "Теоретическая механика Часть 2 " Паллографом называется прибор, построенный О. Шликом для записи вибраций корпуса корабля. В приборе Шлика имеются два маятника, служащие для записи вертикальных и горизонтальных колебаний. Сейчас нас будет интересовать лишь тот из этих маятников, который записывает горизонтальные вибрации корабля. [c.349] Наша система имеет одну степ ь свободы примем за обобщенную кооРДинату угол отклонения стержня АВ от вер гикали и обозначим этот угол через ср. Составим дифференциальное уравнение движения прибора, считая угол ср, а также его производную ср малыми величинами. [c.350] Остается вычислить кинетическую энергию Т и потенциальную энергию V нашей системы. [c.350] Отсюда можно получить величины х и а как функции f. Имея в виду, что вычисление кинетической энергии Т, а также потенциальной энергии V мы ведем с точностью до величин второго порядка малосги, упростим уравнения (2), сохраняя в них лишь члены не выше второго порядка малости. [c.351] Формулами (4) и (5) величины а и х выражаются как функции ср с точностью до величин второго порядка малости (включительно). [c.352] Только в этом случае маятник, будучи выведен из равновесного состояния, будет совершать колебательные движения около положения равновесия. [c.354] Пр выполнении этого условия частота собственных колебаний прибора определяется формулой (8). Как видно из этой формулы, меняя значения постоянных д, и с, можно в широких пределах изменять собственную частоту прибора. Конструкция прибора Шлика позволяет легко изменять значения величины а. Надлежащим подбором этой величины можно сколь угодно снизить собственную частоту прибора, что имеет существенное значение в приборах, служащих для записи вибраций. [c.354] В предыдущем параграфе мы вывели дифференциальное уравнение движения маятника в паллографе Шлика. В процессе этого вывода при вычислении кинетической и потенциальной энергий нам пришлось ввести в рассмотрение две вспомогательные переменные величины X и а. Эти две переменные являются лишними координатами нашей системы в том смысле, какой мы придали этому термину в 120. В самом деле, каждая из этих переменных могла бы быть взята за обобщенную координату системы они являются лишними, так как положение системы уже определяется вполне основной нашей координатой ср. [c.354] Ответ на этот вопрос мы находим у Лагранжа такая форма дифференциальных уравнений движения системы с лишними координатами дана автором Аналитической механики . Этот новый вид уравнений движения связан с введением так называемых лагранжевых множителей. [c.355] Если бы уравнения (2) не имели места, т. е. если бы все к- -т координат 1, 2. Як+т были независимыми, то наша система имела бы к- т степеней свободы. Наличие уравнений (2) стесняет свободу движения системы, уничтожая т стеНеней свободы. Всякое условие, ограничивающее свободу движения системы, мы называем связью. Следовательно, уравнениями (2) на нашу систему налагаются т связей уравнения (2), аналитически выражающие эти связи, мы будем называть уравнениями связей. [c.355] Положим, что наша система движется под действием приложенных к ней сил, и составим дифференциальные уравнения движения системы. [c.355] Если бы все координаты д , д ,. д +т были независимы, то уравнение (3) должно было бы иметь место при произвольных значениях величин 3 1, 3 2 Як+т- Отсюда, рассуждая, как в 12 , мы пришли бы к уже известным нам лаграпжевым уравнениям движения. [c.356] В действительности, однако, координаты д , д ,. . ., дк+т связаны уравнениями (2). Мы уже знаем, что эти уравнения нала ают на нашу систему т добавочных связей. Посмотрим, как отразится наличие этих новых связей на уравнении (3). [c.356] Прежде всего важно заметить, что наличие этих связей не вызовет появления каких-либо новых членов в уравнении (3). В самом деле, появление новых связей сопряжено с появлением соответствующих реакций связей, действующих на точки системы. Но мы знаем, что сумма работ реакций связей на всяком виртуальном перемещении системы равна нулю. Отсюда следует, что наличие новых связей не вызовет появления каких-либо новых членов в уравнении работ (3). [c.356] В чем же скажется наличие тех новых связей, которые выражаются уравнениями (2) Оно скажется в том, что при наличии этих связей уравнение (3) будет иметь место не при всяких значениях величин Ьд , Ьд ,. .., а только при таких значениях этих величин, которые совместимы с уравнениями связей (2). [c.356] Действительно, уравнение (3) дол.жно иметь место при всяком виртуальном перемещении системы. Давая координатам ... [c.357] Это уравнение, так же как уравнение (3), должно иметь место при всех значениях величин 2 , удовлетворяюш 1х уравнениям (4). [c.357] Выбрав так множители Х , Хз,. . ., мы автоматически отсекли в уравнении (5) те члены, в которые входят приращения лишних координат в этом уравнении остаются теперь только члены, которые умножаются на приращения независимых координат Ьд ,. .. [c.358] Вернуться к основной статье