ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Влияние сопротивления на свободные колебания. Затухающие колебания из "Теоретическая механика Часть 2 " Мы видели, что свободные колебания материальной точки имеют место, если материальная точка, будучи выведена из положения устойчивого равновесия какой-либо внешней причиной, затем предоставлена действию восстанавливающей силы. В том случае, когда причина, нарушающая равновесие, не перестает действовать во все время движения материальной точки, мы имеем дело с явлением вынужденных колебаний материальной точки. [c.89] Возьмем прямолинейную траекторию точки М за ось х и назначим начало отсчета х в равновесном положении О, так что ОЖ = л . [c.89] Исследуем движение, совершаемое материальной точкой М при одновременном действии, восстанавливающей силы F и возмущающей силы S. [c.90] Таково дифференциальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки. [c.90] Мы имеем здесь линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами с правой частью. Известно, что общее решение такого уравнения складывается из 1) какого-либо частного решения данного уравнения и 2) общего решения соответствующего однородного уравнения. [c.90] Посмотрим, нельзя ли подобрать постоянную В так, чтобы это выражение удовлетворяло уравнению (2), т. е. чтобы при подстановке его в уравнение (2) последнее обращалось в тождество. [c.90] Полученная формула (5) указывает, что точка /И совершает сложное колебательное движение, складывающееся из двух гармонических колебаний. Первый член правой части формулы (5) соответствует уже знакомым нам свободным колебаниям точки М гармонические колебания, соответствующие второму члену этой формулы, называются вынужденными колебаниями. [c.91] мы приходим к следующей теореме tipa одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее результат наложения свободных и вынужденных колебаний. [c.91] Заметим прежде всего, что это уравнение не содержит произвольных постоянных. Отсюда мы заключаем, что вынужденные колебания ни в чем не зависят от начальных данных. [c.91] Это значит, что в случае р А проекция силы 5 и перемещение х, определяемые формулами (1) и (3), всегда одного знака в случае же р к проекция Силы 5 и перемещение х всегда различных знаков. Другими словами, если р к, то перемещение точки М направлено всегда в ту же сторону, в которую направлена и сила 5 если же р к, то направление перемещения точки М всегда противоположно направлению силы 5. [c.92] Первая из формул (7) показывает, что при О р /г (т. е. в случае вынужденных колебаний малой частоты) имеем А Ло с увеличением р амплитуда А возрастает. При р=к амплитуда А обращается в бесконечность. [c.93] При р к (вынужденные колебания большой частоты) амплитуда А выражается второй из формул (7). С увеличением р амплитуда А убывает. При р — к 2 имеем А — А . При р со амплитуда А обращается в нуль. [c.93] Весьма важно заметить, что при р — к имеем А — оо. Это значит, что когда р приближается к значению к снизу или сверху, амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает. Это обстоятельство выражают, говоря, что при р — к имеет место резонанс. [c.93] содержащему выражение t os kt- -Ь), соответствует колебательное движение с непрерывно возрастающими размахами, Пол -ченное уравнение показывает, как в случае резонанса размахи колебаний точки М беспредельно возрастают. [c.94] Изложенная в 32 и 35 теория свободных ч вынужденных колебаний, вообще говоря, хорошо согласуется с результатами наблюдения. Однако в двух отношениях эта теория оказывается несо-Бершенной. [c.95] Во-первых, наблюдение показывает, что свободные колебания около положения устойчивого равновесия, происходяш,ие под действием восстанавлиБаюш,ей силы, не продолжаются бесконечно долго мало-помалу амплитуда колебаний уменьшается, колебания постепенно затухают. Этого явления затухания колебаний теория, изложенная в 32, не предусматривает. [c.95] Во-вторых, хотя наблюдение подтверждает весьма значительное усиление вынужденных колебаний в случае резонанса, т. е. б случае совпадения частот свободных и вынужденных колебаний, однако на опыте никогда не наблюдается то беспредельное возрастание разма-хоБ колебаний, которое для случая резонанса было нами получено в 35. [c.95] В настояш,ем параграфе рассмотрим влияние сопротивления на сво- Черт. 59 бодные колебания материальной точки. [c.95] Представим себе материальную точку М (черт. 59), совершающую прямолинейное движение под действием восстанавливающей силы Р, равной по величине Р = с ОМ и притягивающей ее к равновесному положению О, и сопротивления Я, направленного в сторону, противоположную движению точки М. Черт. 59 построен в предположении, что точка, М движется в данный момент слева направо. [c.95] Таково дифференциальное уравнение свободных колебаний, дополненное членом, зависящим от сопротивления. [c.96] Вернуться к основной статье