ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Новые парадигмы динамики из "Хаотические колебания " Томас Кун в книге Структура научных революций [97] утверждает, что крупные изменения происходят в науке в общем не тогда, когда выдвигаются новые теории, а когда меняются простые модели, с помощью которых ученые формулируют и осваивают теорию. Концептуальная модель или задача, которая охватывает основные свойства целого класса задач, названа им парадигмой . Модель, состоящая из массы и пружины, является такой парадигмой теории колебаний. В области нелинейной динамики классическими парадигмами стали движение маятника и задача трех тел небесной механики. [c.74] Впрочем, большинство перечисленных здесь книг почти полностью посвящены математическому анализу соответствующих моделей хаоса. В этой главе мы проведем обзор разнообразных математических и физических моделей, которые наруживают хаотические колебания. Мы попытаемся описать физическую природу хаоса, возникающего в этих примерах, и указать как точки соприкосновения, так и отличия физических примеров от их более математизированных парадигм, упомянутых выше. Эти примеры взяты из механики твердых тел и жидкостей, теории электрических цепей, теории управления и химической технологии. Особое внимание мы уделим имеющимся на сегодняшний день экспериментальным доказательствам существования хаотических колебаний. [c.75] Мы будем отличать математические модели, построенные для физических процессов с хаотической динамикой, и физические эксперименты, в которых непосредственно наблюдаются хаотические движения. Читатели, имеющие в распоряжении небольшой компьютер, могут наблюдать хаотические решения для многих из этих моделей с помощью численного интегрирования методом Рун-ге — Кутта. Примеры задач с рекомендуемыми наборами значений параметров приведены для некоторых моделей в приложении Б. [c.75] По-видимому, самой знаменитой сейчас моделью является система Лоренца, которая возникла в результате попытки моделирования динамики атмосферы. Представим себе слой жидкости, находящийся под действием силы тяготения, который подогревается снизу, так что поперек слоя поддерживается разность температур (рис. 3.1). Когда эта разность становится достаточно большой, возникают циркуляционные, подобные вихрям, движения жидкости, в которых теплый воздух (жидкость) поднимается, а холодный — опускается. Верхушки параллельных рядов конвективных валов можно иногда увидеть, пролетая над слоем облаков. Двумерное конвективное течение можно описать с помощью классического уравнения Навье — Стокса (1.1.3). Это уравнение раскладывается по фурье-гармоникам вдоль двух пространственных направлений, а на поверхности и на дне слоя жидкости задаются граничные условия. При малых разностях температур АГ жидкость неподвижна, но при некотором критическом значении ЛГ возникает конвективное, т.е. циркуляционное течение. Это движение называют конвекцией Рэлея — Бенара. [c.76] Параметр а — безразмерное отношение коэффициентов вязкости и теплопроводности (число Прандтля), р — безразмерный градиент температуры (связанный с числом Рэлея), а /3 = 4(1 -н — геометрический множитель, причем о 2 = 1/2. [c.77] При наборе параметров а = 10, р = 28 и /3 = 8/3 (использованном Лоренцем) имеются три точки равновесия, и все они неустойчивы (рис. 3.1, б). В начале координат расположена седловая точка, а две другие — неустойчивые фокусы, т.е. спиральные точки равновесия (см. рис. 1.24). Тем не менее можно показать, что движение глобально ограничено. Поэтому траекториям не остается ничего другого, кроме как оставаться внутри эллипсоидальной области в фазовом пространстве. Пример таких блуждающих траекторий, полученный при численных расчетах, показан на рис. 1.25. [c.77] При численном исследовании этого уравнения Мур и Шпигель обнаружили целую область апериодического движения, показанную на рис. 3.2, б. В последовавшей затем статье Бейкер и др. [6] исследовали устойчивость периодических решений в апериодическом режиме. [c.79] Приведенная система уравнений описывает также осциллятор второго порядка с управляющей обратной связью (параметр X). [c.79] При чтении некоторых из этих ранних статей становится ясно, что хаотические колебания наблюдались в прошлом, но в то время для их анализа не было подходящих моделей. [c.80] Здесь Ф — обезразмеренный момент времени соударения, а и — скорость после него. Как явствует из рис. 3.5, а, стационарное синусоидальное движение стола может привести к непериодическому движению шарика. Хаотическая орбита этого отображения, имеющая вид фрактального множества, показана на рис. 3.5, б. [c.82] В работе [1%] описаны эксперименты с хаотически подскакивающим шариком другие исследования соударений или билинейноп осциллятора можно найти в [88, 191, 192]. [c.82] Если сохранить только кубичные нелинейности, то это уравнение принимает вид (3,2.10), характерный для осциллятора Дуффинга с двумя потенциальными ямами. [c.84] Хаотические движения упруго-пластичной арки исследованы в работе [155]. [c.85] Хаотическое движение двойного маятника исследовалось Рихтером и Шольцем [160]. [c.87] Координата точки подвеса есть Лд = е / os и/, а тяготение действует вдоль оси Z. [c.87] например, ротатор подталкивается вертикальной силой, как показано на рис. 3.10, то импульсный крутящий момент пропорционален Т в) = Fq sin в. [c.88] Эти уравнения были впервые получены советским физиком Заславским [213] при изучении нелинейного взаимодействия двух осцилляторов. В рассматриваемом механическом аналоге этой задачи величина Шд аналогична частоте отдельного осциллятора (см. также вывод уравнений в [151]). [c.89] Вернуться к основной статье