ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Плотность состояний из "Теория твёрдого тела " Как уже отмечалось в 30, функция а (д) может быть представлена в зоне Бриллюэна -пространства аналогично тому, как зонная структура Е (к) в зоне Бриллюэна Л-пространства. В особенности отметим одинаковую симметрию в обоих случаях. Прежде чем перейти к расчету таких дисперсионных кривых, покажем некоторые существенные результаты на простом примере двухмерной квадратной сетки. [c.144] Ограничить рассмотрение только ближайшими соседями уже потому было бы нереально, что квадратная сетка (как и объемная кубическая решетка) при ква-зиупругих связях только между ближайшими соседями была бы неустойчива по отношению к скалывающим напряжениям. [c.145] Здесь q и — компоненты д в (двухмерной) зоне Бриллюэна. Последняя для квадратной сетки сама является квадратом с длиной сторон л/а. [c.146] Уравнение (33.7) приводит к двум решениям для соу д), соответственно к двум ветвям, которые возможны при двухмерной сетке Браве. Мы приведем их для некоторых точек и линий симметрии. Символы симметрии те же, что на рис. 28, а (зона Бриллюэна кубической решетки в Л-пространстве), которые лежат в квадрате при Л, = 0. Центральная точка Г, следовательно ось Д, идет к середине стороны квадрата, X, ось 2 —к середине ребра квадрата, М. Стороны квадрата Х—М Х... являются осями 2. Для двухмерного случая точечные группы, относящиеся к отдель-ньш точкам и линиям, очевидно, другие. [c.146] Если решения соу( ) подставить в уравнения (30.12), то можно определить с / . Тогда на оси Д для (О1 находим с]=1, с = 0. Ветвь (О1, следовательно, описывает продольные колебания решетки. Соответственно для сог находим поперечные колебания (с = 0, с =1). На оси 2 также верхняя ветвь соответствует продольным колебаниям и нижняя ветвь — поперечным колебаниям. Напротив, колебания с -вектором на оси I нельзя классифицировать таким способом. Таким образом, разделение на продольные и поперечные колебания возможно только для определенных значений д. [c.147] У ковалентно связанных решеток связи направленные и, следовательно, зависят от угла между ними. Такие связи плохо описьгеаются квазиупругими силами. Тем не менее и в этом случае получены относительно хорошие результаты. [c.147] Дальнейшее существенное улучшение этой модели получается при учете сжимаемости ионов решетки посредством предположения о сжимаемой оболочке ( дышащая оболочечная модель). Это уточнение во многих случаях привело к количественному совпадению с экспериментом. Для подбора параметров в первую очередь служат константы упругости и диэлектрическая проницаемость ( 35 и 36). В большинстве случаев их не хватает, чтобы определить все свободные параметры. Тогда для подбора используют результаты экспериментальных измерений колебательных спектров. Экспериментальные измерения дисперсионных кривых возможны с помощью неупругого рассеяния нейтронов, причем для твердых тел этот метод ограничивается не слишком большим сечением рассеяния. На рис. 48 показаны ветви функции сОу ( ) для алмаза вдоль важнейших осей внутри и на поверхности зоны Бриллюэна. Самые существенные результаты рис. 48 могут быть выведены уже нз соображений симметрии, как мы в этом убедились в 26. [c.148] Мы здесь не будем входить во все уточнения, которые еще возможны при расчете дисперсионных кривых. В частности, для ковалентных кристаллов возможно в определенных границах учитывать силы, зависящие от углов. [c.149] Для металлов важна экранировка ион-ионного взаимодействия газом валентных электронов. В этом пункте, следовательно, электрон-электронное взаимодействие должно быть включено в теорию. [c.149] В принципе силовые константы могут, конечно, быть получены также из уравнения Шредингера для полной системы. Для металлов здесь помогает понятие псевдопотенциала, которое позволяет развить приближенный метод для расчета дисперсионных кривых и отказаться от нефизического введения упругих сил. Здесь мы можем только рекомендовать литературу, особенно Харрисона [10, 92] и Зандрока [59.X]. [c.149] Знание дисперсионной кривой для всей зоны Бриллюэна, т. е. функции 0у( 7), позволяет вычислить плотность состояний из уравнения (32.6). На рис. 49, а показана плотность состояний для одномерного случая линейной цепочки с двумя атомами в ячейке для двух различных отношений масс атомов. При двух одинаковых массах (левая часть рисунка) плотность состояний соответствует случаю простой линейной цепочки. Имеется только одна акустическая ветвь. Изображенная на верхнем левом рисунке верхняя ветвь является простым продолжением нижней акустической ветви. [c.149] Действительно, если линейную цепочку с одним атомом в элементарной ячейке рассматривать как цепочку с удвоенной постоянной решетки и с двумя одинаковыми атомами в элементарной ячейке, то относящаяся к этому случаю зона Бриллюэна будет вдвое меньше. Акустическая ветвь обычного представления в этом случае должна быть приведена к первой зоне Бриллюэна нового представления. Она образует тогда верхнюю ветвь, которая соединяется с нижней частью на поверхности (одномерной) зоны Бриллюэна. Если массы обоих атомов в ячейке отличаются бесконечно мало, то обе ветви расщепляются и верхняя ветвь будет настоящей оптической ветвью. Уже из этого рассмотрения видно, что названия оптическая и акустическая , точно так же как поперечная и продольная , имеют точный смысл только в определенных случаях. [c.149] Вернуться к основной статье