ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Псевдопотенциал из "Теория твёрдого тела " Мы до сих пор не принимали во внимание спин в уравнении Шредингера для электрона в периодическом поле. Введение спина, прежде всего, удваивает все уровни Е к), так как каждому к соответствует два состояния. Спин-орбитальное взаимодействие может привести к расщеплению части вырожденных уровней. [c.122] Элементы пространственной группы теперь тоже должны быть дополнены операторами, которые действуют на часть, зависящую от спина. Оператор S a a) не коммутирует с (27.1). Следовательно, S e a) недостаточно дополнить е (как это имеет место для части оператора, не зависящей от спина). Обсуждение этого вопроса мы переносим в Приложение Б. [c.123] Из (27.7) следует, чю К переворачивает спин, а функцию Блоха 1 )(Л, г) преобразует в г). 1е же соображения, как при выводе (20.20), показывают, что (к, г) со спином вверх вырождено по отношению к 1 (—А, г) со спином вниз . Следовательно, и здесь справедлива теорема Крамерса Е(к) = Е[—к), но с дополнением, что оба собственных значения принадлежат состояниям с противоположно направленными спинами. Вырождение, связанное с обращением времени, не ограничено приведенным примером. Собственные значения, которые из соображения симметрии не должны быть вырожденными, могут оказаться таковыми из-за обраш,ения времени. [c.124] Для того чтобы обойти это затруднение, будем исходить из следующих соображений. Разделим зоны в твердом теле на две группы глубоколежащие зоны электронов внутренних оболочек и валентные зоны и зоны проводимости. Для первых предположим. [c.124] ЧТО ОНИ относительно узки и что их положение не сильно смещено по сравнению с атомными уровнями, из которых они произошли. Состояния электронов в этих зонах тогда можно с хорошим приближением аппроксимировать состояниями электронов внутренних оболочек в атомах. Вторая группа является для нас наиболее интересной. Нашей целью является нахождение собственных значений уравнения Шредингера Е к) для этих зон. [c.125] Блоховские функции для валентной зоны и зоны проводимости и волновые функции состояний на внутренних оболочках должны быть взаимно ортогональными решениями одного и того же уравнения Шредингера. [c.125] Если для Хя(Л ) выбрать плоские волны, то (28.3) называют ортогонализованной плосковой волной (ОПВ). Предположение в форме (28.3) с такими ОПВ может служить основой для количественного определения зонной структуры. Мы к этому вернемся в конце параграфа. [c.125] Здесь по сравнению с исходным уравнением блоховская функция (к, г) заменена псевдоеолновой функцией % (к, г) и потенциал У (г) —псевдопотенциалом V p, = У (г) + V ,. Оператор У , очевидно, по своей сути положителен, так как Е (к) всегда больше Еу. Поскольку потенциал У (г), наоборот, отрицателен, то обе части. [c.125] В какой-то мере, компенсируются. Псевдопотеициал, таким образом, меньше, чем реальный потенциал, но зато он не локален, так как —интегральный оператор, а волновая функция в У д стоит под интегралом. Мы уже встречались с аналогичными трудностями в выражении для периодического потенциала, в котором появлялись нелокальные обменные члены. Как и в 3, мы теперь должны описать нелокальные члены через локальное приближение. [c.126] Введение псевдопотенциала позволило нам сделать следующий шаг. Оператор Гамильтона Н = Н - -У был заменен новым оператором Гамильтона —который, если пренебречь не интересующими нас глубокими зонами, для валентной зоны и зоны проводимости имеет те же собственные значения Е (к), как и оператор Н. Относящиеся к этому случаю волновые функции х. однако, более гладкие и потому лучше аппроксимируются меньшим числом членов суперпозиции плоских волн. [c.126] Целесообразно разложить Кр,(г) на вклады от отдельных узлов решетки. [c.126] Множитель Fa называется формфактором. Если все базисные атомы одинаковы, то не зависит от а. Тогда Kp,(fl ) есть произведение структурного фактора и формфактора, из которых только в первый входит симметрия решетки и только второй содержит потенциал. [c.127] Мы здесь не будем входить в подробности, а отсылаем читателя к ниже цитируемой литературе. На рис. 42 в качестве примера приведен модельный потенциал при котором в области вблизи иона решетки потенциал заменяется постоянным значением. Размер области подобран таким обрайом, что псевдоволновая функция в этих местах совпадает с блоховской функцией. [c.127] Введение псевдопотенциала, наряду с очевидным упрощением уравнения Шредингера, показывает (и это достаточно наглядно), го поведение валентных электронов в металлах приближенно совпадает с поведением свободных электронов. Однако при этом должно быть выполнено основное условие использованного приближения, что множество электронов в металле может быть однозначно разделено на электроны внутренних оболочек и валентные электроны. Если появятся вышележащие d-зоны, то в приведенной здесь форме этот метод непригоден. [c.127] Займана [59.2]. Важную роль при количественном вычислении зонных структур играют также метод ОПВ и метод псевдопотенциала с эмпирическим подбором формфакторов из эксперимента. [c.128] Мы не можем здесь заняться этими вопросами достаточно полно. Для дальнейшего ознакомления укажем Займан [57.26], Калавей [91], Луке [94], Тройш в [58.7], Займан в [56] и сводные тома [47, 50]. [c.128] Вернуться к основной статье