ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Распределение Ферми п плотность состояний из "Теория твёрдого тела " При этом в некоторых местах окажется возможным сравнение с экспериментом (теплоемкость электронного газа, эффект де Гааза —ван Альфена). В следующих главах мы также возвратимся к этой модели, так, в гл. УП1 при рассмотрении явлений переноса (теория электропроводности Друде, Лорентца, Зоммер-фельда, соотношение Видемана — Франца и др.), в гл. IX при рассмотрении оптических явлений (поглощение свободными носителями, циклотронный резонанс). [c.29] Настоящую главу мы используем главным образом, чтобы ввести ряд основных положений, которые важны при всяком одноэлектронном приближении -пространство, плотность состояний, сфера Ферми, возбуждение пар и т. д. [c.29] Функции ф здесь еще не нормированы. Электронный газ удобно ограничить определенным объемом Vg (основная область). Пусть эта основная область будет параллелепипедом с ребрами 1 , Ьу и Ь . В качестве граничных условий выберем циклические условия Борна—Кармана у, г) = ф( с, у Ьу, г) = ф(х, у, 2+1 ) = ф(д , у, 2). Эти граничные условия облегчают математическое рассмотрение. При достаточно большой основной области они не влияют на физические результаты. [c.30] Пусть число электронов в основной области N. Состояние наименьшей энергии электронного газа (основное состояние)тогда будет описываться тем, что N/2 А-точек наиболее низких энергий будет занято двумя электронами каждая (рис. 1). В Л-про-странстве эти точки заполнят шар с радиусом kf сфера Ферми). [c.30] ЧТО тут надо различать два случая. Для х 2кр может быть возбужден не каждый электрон это значит, что не все + лежат вне сферы Ферми. Для х 2кр любое будет приводить к выходу из сферы. Возможные конечные состояния лежат выше энергии основного состояния на конечную величину, минимально равную энергии (Й.72/п)+ —Д 1 /2/п. При заданном х максимальная энергия, переносимая в обоих случаях, равна х + /.) /2/п —Для каждого х, следовательно, имеется ограниченная область энергий возбуждения (рис. 3). [c.32] Рассмотрим теперь фермн-газ при некоторой температуре, выше абсолютного нуля. В этом случае будут заполнены некоторые состояния выше кр и свободны некоторые состояния, более низкие чем кр. Распределение электронов по состояниям в А-про-странстве задается запасом энергии электронного газа. При изменении температуры некоторые электроны перейдут в состояния большей (или меньшей) энергии. Устанавливается новое состояние равновесия. Нас здесь интересуе только состояние равновесия, а не процесс его установления. [c.32] Этим задается концентрация электронов как функция энергии f Е)—вероятность заполнения (распределение Ферми), г Е)д.Е называется плотностью состояний. [c.34] На рис. 4 представлено распределение Ферми для Г = О и некоторой температуры Т фО. При 7 = 0 параметр до сих пор еще не определенный, равен как раз энергии на поверхности Ферми. При ТфО параметр соответствует значению В, при котором вероятность заполнения равна 1/2. Величина слабо зависит от температуры. Далее, рис. 4 показывает концентрацию электронов при обеих температурах. При Т = 0 все электроны имеют энергию ниже Ер. При более высоких температурах граница между занятыми и свободными состояниями размыта. [c.34] Приближение (6.16) для О соответствует замене распределения Ферми (l+e ) на распределение Больцмана е , что означает пренебрежение вырождением электронного газа. Граница между положительными и отрицательными значениями х, следовательно и есть граница между вырожденным и невырожденным электронным газом. В качестве граничной концентрации для = 0 из (6.13) получается как раз концентрация вырождения выражения (6.14). [c.35] При отсу гствии вырождения х 0) концентрация электронов п = По ехр ( / вТ) и электронный газ ведет себя как газ классических частиц. В предельном случае сильного вырождения х 0) концентрация электронов п будет пропорциональна. Приближение (6.16) приводит в этом случае прямо к уравнению (5.6). [c.35] На рис. 5 показан ход интеграла Ферми и приближений (6.16) и (6.17). [c.35] По классической статистике (невырожденный электронный газ) каждый электрон вносил бы в теплоемкость вклад, равный З д/2. Выражение (6.19) показывает, что при сильном вырождении только часть электронов к Т/Ер вносит вклад в теплоемкость. Это понятно, так как при малом повышении температуры свободные состояния, на которые могут перейти электроны, находятся в слое порядка кдТ вблизи Ер. [c.36] Для металлов Ер порядка нескольких эВ. Поэтому отношение кдТ1Ер всегда мало. Теплоемкость электронов в металлах, следовательно, должна быть много меньше, чем следует из классической статистики. Проверка этого предсказания и была первым подтверждением теории Зоммерфельда для невзаимодействующих электронов в металлах. [c.36] Линейная температурная зависимость теплоемкости, вытекающая из (6.19), также была подтверждена экспериментально. Небольшие отклонения абсолютных значений могут быть отнесены за счет эффективной массы т электронов металла, которую мы уже упоминали в начале этой главы. Если в (6.19) подставить Ер из (5.7), то видно, что с линейно зависит от этой массы. [c.36] Исходным пунктом является вероятность того, что в замкнутой системе подсистема (с определенным объемом, заданной температурой и числом частиц) находится в квантовом состоянии Е . а вероятность есть распределение Гиббса-. [c.37] Постоянная А в (6.20) связана с термодинамическими величинами через соотношение 1п Л = Р1к Т. Выражение, стоящее в знаменателе (6.21), называется статистической суммой (статсумма) и обозначается через Z-. [c.37] Таким образом, с помощью свободной энергии все термодинамические функции могут быть выражены через статсумму. [c.37] Выражения (6.25) являются отправным пунктом д. 1И вычисления распределения Ферми (так же как и классического рас[ ределении Больцмана и распределения Бозе, которые будут рассмотрены позднее). [c.38] Так как ограничено в интервале значений между О и 1, то это среднее число частиц совпадает с вероятностью заполнения квантовых состояний Е к). Таким образом, (6.28) дает искомое распределение Ферми. [c.38] Вернуться к основной статье