ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Хаотическое движение из "Регулярная и стохастическая динамика " Бифуркации. Рассмотрим устойчивость отображения при уменьшении параметра С, начиная с некоторого С 1/2, когда точка л ц устойчива, а неустойчива. При Со =1/2 точка Хц становится неустойчивой, а — устойчивой. При дальнейшем уменьшении С вплоть до С = = — 1/2 точка х остается устойчивой. [c.430] Позже мы получим явные выражения для Х2+ и Хз- как функций параметра С. [c.431] ЭТО СВОЙСТВО является общим для неподвижных точек любого периода. [c.432] Устойчивые неподвижные точки представлены сплошными линиями, неустойчивые — пунктирными. Показан также экстремум f при х — — С/2. А — бифуркация удвоения А — зеркальная бифуркация удвоения. [c.432] При дальнейшем уменьшении параметра С обе неподвижные точки периода 2 становятся неустойчивыми. Поскольку в их окрестности отображение /а х) также квадратично, следует ожидать аналогичной бифуркации, при которой возникают четыре неподвижные точки периода 4 и т. д. Означает ли это, что при любом значении параметра имеется либо устойчивое решение, либо (устойчивая) бифуркация Оказывается, что нет. Последовательность бифуркаций удвоения периода кончается, достигая бесконечного периода при конечном значении параметра С = Соо. За этим значением лежат области хаоса. [c.432] Численное моделирование дает С о — 0,78497, что находится в хорошем согласии с результатом ренормализации. [c.434] Подставляя это выражение в (7.2.27) и замечая, что к-я бифуркация по С соответствует (к + 1)-й по С, т, е. [c.434] Это соотношение справедливо для ветви, идущей от х . [c.435] Полученное соотношение выполняется для значений х на ветви, идущей от х . Таким образом, для половины неподвижных точек периода 2 масштаб изменяется как а, а для остальных — как [см. (7.2.38) ]. [c.435] ДЛЯ трех первых бифуркаций. Цифры в круглых скобках показывают последовательность движения для траекторий с периодом 4 и 8, начиная с верхней точки. Отметим также, что расстояния между соответствующими ветвями, идущими от хи+ и от хь-, отличаются в а раз. [c.437] По вертикальной оси отложены неподвижные точки аттрактора периода 2 , который образуется при С = из аттрактора пepиoдaJ2 . Видна неизменность скорости сходимости по С и по л (константы б и а). [c.437] Существование бифуркаций удвоения очень большого периода демонстрируется на рис. 7.14, полученном с помощью численного моделирования квадратичного отображения [417]. Зависимость хи от С отложена в двойном логарифмическом масштабе. Ясно видна постоянная скорость сходимости по С и по х (с параметрами б и а соответственно). [c.438] Спектральные свойства. При экспериментальном исследовании сложного движения широко используется его спектр Фурье. Ниже мы следуем анализу Фейгенбаума [123], который получил универсальный спектр одномерного отображения вблизи точки сгущения Соо. [c.438] Для приближенного значения (7.2.35) для а имеем у = 5,79 точное значение а = — 2,5029 дает 7 = 6,57. [c.440] Согласно (7.2.44), чтобы получить амплитуду новой гармоники (вдали от точки бифуркации), появившейся в результате (п + 1)-й бифуркации, нужно взять уменьшенное в 6,57 раза значение амплитуды гармоники, появившейся в результате л-й бифуркации. Это теоретическое предсказание подтверждается экспериментально (см. работу [123] и рис. 7.33). Мы обсудим эти экспериментальные данные в 7.4. [c.440] Приведенный вывод (взятый из работы [123], см. также [524]) является ошибочным. Во-первых, в данном случае нельзя заменять сумму интегралом, а во-вторых, неявно предполагаемая плавная зависимость комплексной амплитуды от к явно несправедлива, хотя бы из-за фазового множителя в (7.2.41). Более естественным является предположение о плавной зависимости модуля амплитуды и случайности ее фазы ввиду перехода при - оо к хаосу с непрерывным спектром. Тогда из (7.2.41) и (7.2.42) можно получить у = 2а (1 + л/2Р л 4,65 [см. (7.2.676)]. Точная теория с использованием универсального отображения Фейгенбаума дает для среднего по спектру параметра подобия значение у) = 4,578 . . [540]. Небольшое различие между этими значениями объясняется, по-видимому, приближенным характером исходного закона подобия (7.2.38). Соответственно изменяется и параметр Р = 3,2375. .. в (7.2.676). Последнее значение приведено без объяснений в работе [205].— Прим. ред. [c.440] Темные кружки показывают устойчивую траекторию светлые— 11еусто11чпьую о) О 6 С Пунктирная прямая f , — х. [c.441] Поскольку вблизи неподвижных точек отображение /з локально квадратично, то можно ожидать, что при дальнейшем уменьшении С будут возникать бифуркации удвоения с периодами 3, 6, 12, 24. ... Их точку сгущения С можно найти с помощью описанной выше ренормализации или же путем численного моделирования. В последнем случае — 0,92475. Существуют и зеркальные бифуркации удвоения при С = 1—С. [c.441] а близкие траектории расходятся экспоненциально. Такое движение получило название хаотического (см., например, [261, 297]). При его исследовании можно использовать некоторые методы, описанные в гл. 5 для гамильтоновых отображений. Особое значение имеет показатель Ляпунова а и равновесное инвариантное распределение Р (х). [c.442] Для а 0 движение хаотическое, а для а О — периодическое. Сглаженная кривая построена по 300 точкам с равномерным тагом по С. [c.443] Вернуться к основной статье