ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Системы со многими степенями свободы из "Регулярная и стохастическая динамика " Исследования систем со многими степенями свободы всегда вызывали большой интерес. Причиной этого является, с одной стороны, желание понять поведение непрерывных систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, а с другой — связь со статистической механикой. Геометрия многомерных резонансов рассматривалась в п. 6.1а, а также в 6.3 (более подробное описание можно найти в работе [70]). С точки зрения резонансной структуры вопрос о поведении системы с большим числом степеней свободы сводится к вопросу о том, возрастает ли плотность основных резонансов быстрее, чем уменьшается их ширина, по мере распределения энергии по многим степеням свободы. Если это действительно так, то при N - оо следует ожидать перекрытия резонансов и сильной стохастичности движения. [c.404] Такая упрощенная модель не является, конечно, адекватной для всех многомерных систем. Так, например, она не описывает солитонные регулярные решения, которые, как известно, существуют для некоторых нелинейных дис еренциальных уравнений в частных производных (см., например, [240, 249, 438]) ). Однако, как мы увидим ниже, многие системы действительно оказываются стохастическими при больших N. [c.405] также книгу [457].— Прим. ред. [c.405] Для качественно правильного моделирования в правую часть уравнения (6.5.3) нужно добавить дисперсионный член (а 12) д х/дг, где а — расстояние между массами в цепочке. Решения же уравнения (6.5.3) являются сингулярными вследствие опрокидывания нелинейной волны.— Прим. ред. [c.406] Они нашли, что эта оценка не противоречит имевшимся численным данным. Это согласуется и с модельной оценкой (6.5.2), которая тоже предсказывает перекрытие резонансов при достаточно большом N. Однако так как при фиксированной энергии системы высокие моды будут иметь очень малую амплитуду, то не ясно, будет ли хаотическая часть фазового пространства стремиться к нулю или к единице с ростом N. [c.407] Аналогичные результаты были получены ранее Фордом и Уотерсом [135]. Они нашли, что существенный обмен энергией между модами возможен только вблизи резонансов по невозмущенным (линейным) частотам мод, и дали качественный критерий этого. В соответствии с этим критерием они видоизменили модель Ферми— Паста—Улама и численно продемонстрировали сильный обмен энергией между всеми модами (для N = Ъ), который имел, по-вп-диьюму, стохастический характер. [c.407] Используя другой подход, Бивинс и др. [31] исследовали взаимодействие нескольких мод в случае, когда одна из них имеет большую амплитуду и возбуждает соседние моды. Такой подход охватывает только относительно короткий интервал времени и ничего не говорит об асимптотическом поведении системы. Тем не менее они наблюдали переход от регулярного обмена энергией между модами при слабом возмущении к похожему [на хаотический при более сильном возмущении ). [c.407] Другое, более известное, решение проблемы Ферми—Паста—Улама связывает регулярность колебаний некоторых видов нелинейной цепочки с близостью их к полностью интегрируемым нелинейным системам при любой энергии (см., например, прекрасный обзор Забуского [518]). В частности, уравнение (6.5.3) с квадратичной нелинейностью (дх дг) дх/дг) и дисперсией (см. примечание редактора на с. 406) имеет бесконечный набор независимых интегралов движения и является, по-видимому, полностью интегрируемым. Хотя такое решение проблемы годится далеко не всегда ввиду исключительности полностью интегрируемых систем, оно послужило толчком для развития мощных методов интегрирования нелинейных уравнений (см., например, работы [457, 518]).— Прим. ред. [c.407] Интерпретация этих результатов затруднительна, поскольку сингулярность взаимодействия при пересечении листов нарушает условие гладкости теоремы KAM (п. 3.2а). Как мы знаем на примере сингулярного отображения Улама (3.4.4), это приводит к глобальной стохастичности, а регулярные траектории сохраняются только в островках устойчивости внутри резонансов. Если доля этих островков уменьшается с ростом N, то можно ожидать быстрого возрастания числа стохастических траекторий, что согласуется с результатами [144]. [c.408] Гальгани и сотр. [148] исследовали эту задачу в простейшем случае одномерного движения частиц. Они обнаружили, что распределение энергии по невозмущенным (линейным) модам колебаний увеличивается с ростом N. Эти результаты, однако, трудно интерпретировать с точки зрения стохастичности, поскольку обычные критерии стохастичности в работе не использовались. [c.408] Заключение. С ростом числа степеней свободы наблюдаются две конкурирующие тенденции. С одной стороны, сетка резонансов в фазовом пространстве становится все более плотной. С другой стороны, ширина резонансов обычно уменьшается. В зависимости от поведения усредненного параметра перекрытия движение системы при N- 00 может быть как полностью стохастическим, так и полностью регулярным. Примером систем первого типа является газ Леннарда-Джонса, а второго — непрерывные системы, такие, как нелинейная струна ). Хотя строгого критерия разделения систем на эти два типа не существует, оценка перекрытия резонансов позволяет, по-видимому, сделать правдоподобные заключения о поведении системы при больших N. [c.409] Вернуться к основной статье