ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случайность и ее численное моделирование из "Регулярная и стохастическая динамика " Случайные последовательности. В каком смысле поведение детерминированной динамической системы может оказаться случайным Прежде всего значительные усилия были направлены на выяснение смысла самого понятия случайности [231, 338] (популярное изложение см. в работе [61 ]) ). Интуитивно ясно, что случайная последовательность некоторых символов не должна подчиняться никакой закономерности. Можно придумать различные тесты, например на частоту появления определенных символов в последовательности, пар символов и т. д., которые должна выдерживать случайная последовательность. В том случае, если последовательность выдерживает все тесты, ее можно считать случайной ). [c.306] Такое определение случайности по Мартин-Лёфу [493] (см. также [492]) представляется слишком узким по крайней мере для теории динамических систем, поскольку оно включает в себя максимальные статистические свойства, в частности полную независимость (бернуллиевость). Критику такого определения случайности см. в работе [500].— При.ч. ред. [c.306] Можно показать, что последовательности с максимальной сложностью действительно существуют ). Рассмотрим теперь некоторый вычислимый тест на случайность. Тогда можно доказать следующую теорему последовательность выдерживает все вычислимые тесты на случайность тогда и только тогда, когда она имеет положительную сложность ), т. е. [c.307] Сопоставим каждой последовательности точку на отрезке [О, 1 ]. Тогда меру множества последовательностей можно определить как меру соответствующих действительных чисел ). Можно доказать, что по этой мере почти все последовательности случайны, т. е. множество неслучайных последовательностей имеет меру нуль ). [c.307] Является ли она случайной Ответ зависит от того, случайно ли начальное условие Xq. Из упомянутой выше теоремы следует, что почти все Хо случайны, а значит, и рассматриваемая последовательность почти наверняка случайна. Оказывается, что движение вблизи гомоклинных точек в стохастическом слое случайно, а регулярное движение на инвариантных поверхностях не является случайным ). [c.307] И даже составляют большинство из всех последовательностей данной длины [231].— Прим. ред. [c.307] Это не теорема, а другое возможное (и более приемлемое для теории динамических систем) определение случайности (см. примечание редактора на с. 306). Впервые такое определение в эквивалентной форме было предложено Алексеевым (см. [501], с. 75, определение А и обзор [448]).— Прим. ред. [c.307] Подобные заключения можно получить из теоремы Алексеева — Брудно (см. [448, 494]), согласно которой упомянутая выше удельная сложность равна КС-энтропии К (S) = h.— Прим. ред. [c.307] Ошибки округления. При исследовании гамильтоновых отображений с их сложной структурой хаотического и регулярного движения широко используется численное моделирование, причем число итераций отображения достигает многих миллионов. Возникает вопрос в какой степени численное моделирование с конечной точностью арифметических операций, ошибками округления и прочим шумом соответствует реальной динамике системы Существенное влияние этих ошибок на такие характеристики движения, как распределение в фазовом пространстве, мера стохастической компоненты и другие, легко определить, изменяя точность счета. Фактически такие проверки составляют неотъемлемую часть любого численного эксперимента. Так, например, Грин [165] исследовал влияние ошибок округления на определение границы стохастичности и нашел, что оно пренебрежимо мало (см. п. 4.4а). Бенеттин и др. [17] показали, что для систем Аносова численные ошибки несущественны при вычислении временных средних, например, показателей Ляпунова. Однако системы Аносова структурно устойчивы, и вопрос о влиянии численных ошибок на другие системы остается пока открытым ). [c.308] С другой стороны, конечная точность счета кардинально меняет некоторые свойства движения. Даже для регулярной траектории ошибка в начальных условиях растет, вообще говоря, линейно со временем, а для хаотических траекторий она растет экспоненциально быстро. Если мантисса чисел на ЭВМ имеет N двоичных разрядов, то начальные условия полностью забываются через п,п — 2 итераций для регулярной траектории и всего через Пт Л/ итераций для хаотической траектории, В обоих случаях система окажется далеко от своего начального положения, если после Пщ итераций в одну сторону по времени сделать столько же итераций в обратную сторону. [c.308] Это — взаимно-однозначное отображение М = точек плоскости а, Ь) на себя. Оно не содержит округления или каких-либо других численных ошибок ). Для т, кратного 4, и /С 4 отображение имеет две неподвижные точки (О, 0) и (— т/4, 0). Первая устойчива при малых И/, вторая неустойчива. Для К = 1,3 и m = = 400 имеются 48 относительно коротких периодических траекторий, заполняющих некоторую кольцевую область вокруг неподвижной устойчивой точки (О, 0). Кроме того, имеются 9 очень длинных траекторий, которые довольно однородно покрывают большую часть фазового квадрата и соответствуют, по-видимому, хаотическому движению. Для /С = 10 имеются только 12 (длинных) траекторий, представляющие хаотическое движение. [c.309] В таком определении скрыта следующая эргодическая гипотеза статистика траекторий для данного (типичного) отображения [например, (5.2.33)] приблизительно совпадает со статистикой всех М отображений.— Прим. ред. [c.309] Вернуться к основной статье