ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные свойства стохастичности из "Регулярная и стохастическая динамика " Перемешивание подразумевает некоторое огрубление фазового пространства, т. е. исследование его малых, но конечных областей ). [c.299] Таким образом, отображение для огрубленной функции g сводится к усреднению g по двум половинам фазового квадрата. Это приводит в конце концов к однородной по х функции g, как и должно быть при перемешивании ). [c.300] Интуитивно ясно, что рассматривавшиеся в предыдущих параграфах стохастические системы являются перемешивающимися (в пределах стохастической компоненты движения). Однако это очень трудно строго доказать в конкретных случаях. Синаю [377 ] удалось сделать это для системы твердых шариков (см. п. 1.4а). Доказательство основано на рассеянии пучка траекторий при столкновении шариков (см. рис. 1.15, а). Хотя этот частный результат и не доказывает наше предположение о перемешивании для типичной системы, близкой к интегрируемой, однако он оправдывает подобные элширические обобщения, получаемые методом численного моделирования. [c.300] Сам Колмогоров назвал их квазирегулярными, имея в виду свойства регулярного (типичного) случайного процесса. По поводу определения К-системы, или К-свойства движения см. примечание редактора на с. 301.— Прим. ред. [c.300] Если не только Л 0, но и О для любого конечного разбиения Ас (0) , то движение обладает К-свойством [378], которое оказывается, таким образом, более сильным, чем положительность КС-энтропии. Грубо говоря, К-система характеризуется однородностью процесса перемешивания.— Прим. ред. [c.301] Это очень сильные условия, и гамильтоновы системы, близкие к интегрируемым, никогда им не удовлетворяют. Системы Аносова структурно устойчивы [8], т. е. при действии малого возмущения Рис. 5.3. Отображение Арнольда на то- НИ остаются системами Ано-ре (по данным работы [И]). СОва. [c.302] Имеются в виду начальные условия как в касательном, так и в основном фазовом пространстве. В приведенном виде условия относятся только к обратимым во времени системам, подробнее см. [8, 9, 14].— Прим. ред. [c.302] При этом каждая итерация дает новый член последовательности Бернулли. КС-энтропия этого отображения легко вычисляется и равна h = п М, а Hj- = hn. Таким образом, КС-энтропия определяет скорость роста Hj со временем п. При п- оо энтропия Н неограниченно возрастает. [c.304] Это — так называемая символическая траектория.— Прим. ред. [c.304] Это не очень удачный пример, поскольку подбрасывание монеты не является чисто динамическим процессом. Пример сдвига Бернулли в динамической системе см. ниже в тексте и (5.2.32).— Прим. ред. [c.304] Согласно современной алгоритмической теории динамических систем [448], которая кратко обсуждается ниже в п. 5.2г, свойство случайности лежит как бы в другой плоскости. Формально алгоритмическая случайность эквивалентна положительности КС-энтропии (Л 0), т. е. это свойство слабее К-свойства (с.м. прим. ред. на с. 301). Однако оно обладает иным качеством полностью исключает возможность динамического описания системы ввиду принципиальной непредсказуемости отдельных траекторий.—Яуоил. ред. [c.305] Вернуться к основной статье