ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эргодичность из "Регулярная и стохастическая динамика " Из этого определения ясно, что для эргодической системы среднее по времени не может зависеть от х. Из произвольности функции / (дг) следует, что эргодичность имеет место только в том случае, когда траектория попадает во все области фазового пространства, т. е. подходит сколь угодно близко к. любой его точке бесконечное число раз. Отметим, что обратное утверждение неверно ). Если, например, система имеет инвариантные поверхногти, то она не является эргодической и называется обычно разложимой -), хотя у нее могут быть и стохастические области. [c.292] Свойство эргодичности зависит от того, на каком подпростран стве оно определено. Так, автономная гамильтонова система не может быть эргодической во всем фазовом пространстве из-за точного сохранения энергии. Однако Можно говорить о ее эргодичности на энергетической поверхностй. Если существуют и другие интегралы движения, то система может быть эргодической только на подпространстве, определяемом вс ми этими интегралами. В некотором смысле эргодичность оказывается универсальным свойством, и основная задача сводится к определению подпространства, на котором она существует. [c.292] Оно изображено на рис. 5.1, а для а = 1/5 (рациональное число) II двух начальных условий (кружки и креста). Выбрав / (6), как показано на рис. 5.1, б, легко видеть, что / = О для кружков и [ = /о для крестов. Таким образом, движение в этом случае не зрго-дично. Для иррационального а траектория покрывает всю окружность и / (л ) = (/) = /о, 2, т. е. движение является эргодическим на окружности. [c.294] Отображение (5.2.4) соответствует движению интегрируемой гамильтоновой системы на инвариантном торе (01, бг). Можно сказать, что это движение эргодично на торе, но не эргодично во всем фазовом пространстве. Из рассмотренного примера квазипериодического движения ясно, что эргодичность еще не означает стохастичность. С другой стороны, наше определение эргодичности позволяет считать эргодическим стохастическое движение и в некоторой ограниченной области фазового пространства, например в стохастическом слое. Однако такое определение может оказаться не очень удобным в том случае, когда область стохастичности содержит много островков устойчивости ). [c.294] Вернуться к основной статье