ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Иррациональные числа вращения и теория КАМ из "Регулярная и стохастическая динамика " Рассмотрим общее поведение системы связанных нелинейных осцилляторов и структуру их фазового пространства. Основным результатом здесь является теорема KAM, гарантирующая существование инвариантных торов для систем как с двумя, так и с большим числом степеней свободы. Однако некоторые следствия теоремы KAM существенно различаются для этих двух случаев. Так, диффузия Арнольда возможна лишь в последнем случае. Мы отложим обсуждение этого вопроса до гл. 6. Здесь же для иллюстрации теоремы KAM и характерной структуры фазового пространства мы ограничимся рассмотрением двумерных (сохраняющих площадь) отображений с некоторыми естественными обобщениями на случай большего числа степеней свободы. [c.184] При этом считается, что п изменяется непрерывно. Напомним также, что время п не совпадает с физическим временем t (dn/dt я сйд//2я), причем зависимость t (п) может быть очень сложной, так как сод/ = а Jl — может изменяться хаотически.— Прим. ред. [c.184] И конечно, совершенно не похож на исходный физический гамильтониан Н с двумя степенями свободы. Тем не менее траектории обеих систем совпадают для целочисленных моментов времени п. Однако для привязки к физическому времени 1 необходимо знать зависимость сОз ( 1) (0-2 (J,, Уг (По, Jl)), или исходный гамильтониан Яо (/1, — Прим. ред. [c.184] Коэффициенты аи убывают медленнее, чем Ьи, а при рациональных а некоторые из них не определены. В этом и состоит проблема малых знаменателей, препятствующих сходимости рядов теории возмущений. Если а зависит от /1, то величину I нужно выбирать так, чтобы ни один знаменатель не оказался резонансным. Для этого необходимо соответствующим образом изменить процедуру разложения, а также потребовать достаточно быстрого убывания коэффициентов Ьи- Доказательства теоремы КАМ чрезвычайно сложны и мы не будем их здесь излагать. Основная идея доказательства состоит в изменении начальных условий на каждом шаге разложения таким образом, чтобы все время оставаться достаточно далеко от всех резонансов и тем самым иметь возможность продолжать разложение. [c.187] Именно в такой форме его обычно и приводят. [c.188] Точнее, чтобы не сохранялось условие резонанса т-ш = 0.— Прим. [c.188] Обобщение на вырожденные системы проведено Арнольдом и Мозером (см. [11], 10 и [374], 34).— Прим. ред. [c.190] В отличие от задачи с волной (см. п. 2.4в) разделение на быстрые и медленные переменные здесь невозможно. Следовательно, неприменима и резонансная теория возмущения. Фактически рассматриваемая система вообще не имеет малого параметра ), т. е. не близка к интегрируемой. В таком случае нет основания ожидать существования инвариантных кривых даже в пределе е —0. Это п было обнаружено Лансфордом и Фордом путем численного интегрирования уравнений движения ). [c.191] Принятое выше условие (u = uj = О означает наличие двух независимых резонансов в невозмущенной линейной системе (3.2.20). Отсутствие таких резонансов и есть дополнительное условие применимости теории KAM к вырожденным системам (см. при. гечание редактора на с. 190).— Прим. ред. [c.191] Достаточная иррациональность и умеренная нелинейность. Предполагая, что сумма в (3.2.29) сходится к некоторому а, мы видим, что инвариантные кривые не существуют, если а = со /соа лежит внутри одного из заштрихованных на рис. 3.2, в интервалов ). Так как ширина этих интервалов пропорциональна (еС) - и убывает с ростом д, то необходимо, чтобы величина а лежала достаточно далеко от любого рационального значения р д. При малых 8 это условие легко выполнимо, но с ростом е инвариантные кривые существуют лишь для таких иррациональных а, которые наиболее плохо аппроксимируются рациональными числами. С этой точки зрения самым иррациональным числом является золотое сечение а = (д/5—1) 2 = а2. Грин [165] дал очень точный критерий возникновения сильной стохастичности в предположении ), что инвариантная кривая с а = разрушается последней (с ростом г). Мы опишем метод Грина и его результаты в гл. 4. [c.194] Обсуждение этой гипотезы см. в работе [76].— Прим. ред. [c.194] При этом в (3.2.18) мы положили (rV ) Hrs — Ao. Аналогичные оценки были получены Чириковым [70]. [c.195] При доказательстве теоремы KAM [308] возмущение е приходится, вообще говоря, полагать чрезвычайно слабым. Чириков [67 ] нашел, что критическую величину возмущения можно оценить из условия перекрытия целых резонансов, изображенных на рис. 3.2, б. Численные эксперименты показали, что этот критерий дает разумную оценку для величины возмущения, при которой разрушаются последние инвариантные кривые, проходящие между этими резонансами. Используя аналитические и численные результаты с учетом дробных резонансов q — 2 и q = 3, Чириков [70 ] усовершенствовал критерий перекрытия и получил весьма точные предсказания для границы стохастичности. Критерий перекрытия резонансов и связанные с ним другие критерии перехода к стохастичности для некоторого класса типичных возмущений будут подробно рассмотрены в гл. 4. [c.195] Вернуться к основной статье