ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Синусоидальные волны на глубокой воде из "Волны в жидкостях " Решениями уравнения (5) в области 2 0, удовлетворяющими граничному условию (13), будут поверхностные гравитационные волпы. Смещение новерхностн определяется через потенциал скоростп ф из соотношений (10) или (12). [c.259] В данном рассмотрении предполагается, что искомое решение уравнения Лапласа в виде синусоидальных волн в заполненной водой области 2 О удовлетворяет условию (13) на верхней границе 2 = 0. Мы должны также наложить подходящее граничное условие на нижней стационарной границе массы воды для безвихревого течения этим условием будет стремление к нулю нормальной составляющей скорости жидкости, т. е. производной по нормали потенциала скорости ф. Любое полученное таким образом решение для безвихревого течения дает, однако, ненулевое значение тангенциальной составляющей скорости на границе. В случае вязкой жидкости оно должно быть согласовано с точным граничным условием равенства нулю скорости жидкости на стационарной твердой поверхности посредством введения тонкого диссипативного пограничного слоя (разд. 2.7) между поверхностью и безвихревым потоком. [c.260] Хотя в разд. 3.3 решения уравнения Лапласа в виде синусоидальных волн строятся так, чтобы они удовлетворяли не только верхнему, но и нижнему граничному условию, а в разд. 3.5 изучается соответствующий вязкий пограничный слой, мы опишем сначала более простое явление — волны на поверхности столь глубокой воды, что точное граничное условие выполняется снизу автоматически, поскольку связанное с поверхностными волнами возмущение не может проникнуть так глубоко вниз. Поверхностные волны такого рода называют волнами на глубокой воде для любого водоема с глубиной, превосходящей длину волны (как указано в разд. 3.1), нижнее граничное условие удовлетворяется. [c.260] Обш им решением этого обыкновенного дифференциального уравнения является линейная комбинация решений и Первое из них удовлетворяет граничному условию глубокой воды возмуш,ение, которое им описывается, становится все слабее и слабее в точках, расположенных далеко вниз от поверхности, где 2 отрицательно и велико. Действительно, на нижней границе, где z С. — возмущение становится меньше, чем = 0,00187, т. е. пренебрежимо малым. [c.261] Тогда в диапазоне длин волн от 1 до 100 м, типичном для поверхностных гравитационных волн, скорость волны с изменяется от 1,25 si до 12,5 м/с, а период ip — от 0,8 до 8,0 с. Более того, в разд. 3.4 показано, что поверхностные волны с длиной Я, принимающей довольно лхалые значения, вплоть до 0,1 м (прп этом с = 0,4 м/с, ip = 0,25 с), все еще являются почти чисто гравитационными (в том смысле, что эффект поверхностного натяжения остается для них очень малым), а волны с таким большим значением Я, как 1000 м (при этом с = 40 м/с, ip = 25 с), в районах океана с глубиной в несколько километров все еще остаются волнами на глубокой воде. Таким образом, синусоидальные волны на глубокой воде представляют интерес для большого диапазона значений скоростей и периодов. [c.262] Сидя на берегу водоема, можно наблюдать следуюище друг за другом гребни волн с интервалом, скажем, около 8 с. Если предположить, что эти гребни представляют собой преобразованные при распространении на прибрежном мелководье гребни синусоидальных волн, которые подходят к береговой линии через области глубоких вод, то па основании соотношений (20) можно заключить, что длина этих синусоидальных воли составляет 100 м (что и соответствует ip = 8 с). В разд. 3.3 и 3.(3 мы увидим, что такое заключение в основе своей правильно. Уменьшение длины волны от таких больших значений для глубокой воды до величины, в несколько раз меньшей у самого берега, происходит из-за эффектов, связанных с мелководьем. [c.262] С точки зрения общей линейной теории колебаний (см. курсы по динамике) выражение (24) для приращения потенциальной энергии на единицу площади горизонтальной поверхности озна1-чает, что локально подходящей обобщенной координатой, описывающей распространение гравитационных волн, могло бы быть смещение свободной поверхности при условии, что кинетическая энергия на единицу площади горизонтальной поверхности может быть записана соответственно как величина, кратная дудьу. И действительно, такая формула легко выводится для синусоидальных волн. [c.264] Здесь наличие множителя к отвечает тому факту, что перемещение поверхности д% д1 вовлекает в движение слой жидкости (см. рис. 50) снизу от поверхности с толщиной, пропорциональной длине волны 2л/А (хотя и несколько меньшей этой длины). [c.265] Можно считать, что выражения (24) и (27) определяют для синусоидальных волн на глубокой воде обобщенную жесткость рй (коэффициент перед (1/2) в выражении для потенциальной энергии) и обобщенную массу рА (коэффициент перед И2) дудьу в выражении для кинетической энергии) на единицу площади поверхности воды. Соотношение (18) в терминах общей теории может быть интерпретировано следующим образом квадрат частоты колебаний равен отношению обобщенной жесткости к обобщенной массе, в данном случае Ек-(так что кинетическая и потенциальная энергии будут иметь, одинаковые средние значения). [c.265] Мы отложим рассмотрение вязких пограничных слоев до разд. 3.5, где (как и в разд. 2.7) мы обнаружим, что их влияние на волны сводится в основном к затуханию. [c.267] Их графики показаны на рис. 51. Заметим, что нулевой наклон графика сЬ х при х = О подтверждает, что функция (32) удовлетворяет условию Ф (—к) = 0. [c.267] Этот результат согласуется с обоими предельными выражениями, полученными выше ( /А) 2 в пределе для глубокой воды кк велико) и Ек)У в пределе для длинных волн кк мало), поскольку при этих предельных переходах кк асимптотически стремится соответственно к 1 и к АЛ (рис. 51). [c.268] Это условие, необходимое для того, чтобы теория глубокой воды описывала дисперсию с хорошей точностью, может показаться удивительным, так как возмущения, предсказанные этой теорией, уменьшаются на глубине 0,28 X только до 17% их значения на поверхности. Однако (как мы увидим) более существенно то, что их вклад в кинетическую энергию (27) (а следовательно, и инерционный член) уменьшается на том же расстоянии до 3%. [c.269] Как предсказывалось в разд. 2.2, для того, чтобы скорость волны с хорошей точностью определялась выражением ( /г) , не зависящим от Я и выведенным в иредноложении существенно одномерного движения, глубина к должна составлять небольшую часть (менее 7%) длины волны. [c.269] Интересно также представить на графике зависимость скорости волны с от глубины к нри фиксированной частоте со, прежде всего в связи с тем (см. разд. 3.8), что частота синусоидальных волн на глубокой воде, приближающихся к береговой линии, при прохождении волнами участков со все меньшей и меньшей глубиной стремится к постоянной величине (нри этом число гребней волн, достигающих берега за единицу времени, равняется их числу при приближении к береговой линии). [c.269] Зависимость скорости волны с по линейной теории от длины волны X в воде при постоянной глубине Ь,. Обратите внимание на переход от зависимости ( Х 2пур для случая глубокой воды к зависимости (ghfl для случая длинных волн. [c.270] В разд. 3.2 показано, что волна с периодом, например, 8 с имеет на глубокой воде скорость с = 12,5 м/с и длину волны Я = 100 м. Одпако при прохождении волны по все более мелкой воде, что соответствует движению вниз вдоль кривой на рис. 53, и скорость, и длина волны уменьшаются. Вблизи берега при глубине, скажем, 1 м скорость с уменьшается (для волны с периодом 8 с) до 3,1 м с, а Я — до 25 м, т.е. в четыре раза. [c.271] В гораздо более глубокой воде эллипсы, показанные на рис. 55, будут, как на рис. 50, очень близкими к окружностям везде, кроме придонной области, где они будут сильно сплющенными, но относительно малыми. В намного более мелкой воде все они будут сильно сплющенными с почти одинаковыми длинами больших осей. [c.273] Вернуться к основной статье