ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегральные уравнения граничных задач. Теоремы существования н единственности из "Методы потенциала в теории упругости " Можно показать на основании (8.3), что выражение (8.48) представляет существенно положительную форму. [c.264] При этом (D ) и Tj) — уравнения, соответствующие внутренним задачам. а (DJ и (rJ — уравнения внешних задач вектор /(Xq) задан на I, это вектор класса Я. В 36—37 гл. X будут построены и исследованы уравнения смешанной задачи. [c.266] Полученные интеграл-.ные уравнения — сингулярные в отличие от соответствующих уравнений гл. II. они представляют собой кон- турные или одномерные сингулярные интегральные уравнения. Уравнения (8.52) являются частным случаем систем сингулярных уравнений, рассмотренных в гл. V, и для них можно развить совершенно так же, как это сделано в гл. V, аналогичную теорию разрешимости при этом мы убедились бы, что остаются в силе три основные теоремы и альтернатива Фредгольма. [c.266] Однако нет необходимости делать это. Теория систем одномерных сингулярных интегральных уравнений с ядрами типа Коши общего вида была разработана достаточно подробно еще в сороковых годах и изложена в [246] и в [13а]. Было показано, что, в отличие от систем уравнений Фредгольма, для систем сингулярных уравнений, вообще говоря, не имеет места теорема о равенстве нулю разности чисел линейно-независимых решений данной и сопряженной систем доказывается, что эта разность равна так называемому индексу системы, введенному в простейшем случае одного уравнения Неттером и распространенному для систем уравнений Мусхелишвили [246]. Таким образом, только в том частном случае, когда индекс системы сингулярных уравнений равен нулю, мы имеем случай Фредгольма и теорию разрешимости, аналогичную теории Фредгольма. Ниже будет показано, что уравнения (D ), (DJ, (Г,), (7 J относятся именно к этому типу и для них, в частности, остаются справедливыми основные теоремы и альтернатива Фредгольма кроме того, уравнения (D ), и (DJ, (7 г) являются попарно взаимно-сопряженными. Основываясь на этих свойствах полученных уравнений, в следующем параграфе мы докажем теоремы существования для первой и второй задач. [c.266] Из соотношений (8.28) и (8.32) следует, что если контур интегрирования I есть кривая Ляпунова, то уравнения (8.53) являются обычными уравнениями Фредгольма благодаря отмеченному обстоятельству эти уравнения в некоторых случаях могут иметь известное преимущество перед сингулярными уравнениями (8.52) так, например, пользуясь уравнениями (8.53), нет необходимости предполагать вектор /(Хо) принадлежащим классу Н, а достаточно считать его, например, непрерывным в обычном смысле. Но, с другой стороны, уравнения (8-53) не обладают свойством сопряженности, которым, как было сказано выше, обладают системы (8.52). Указанное обстоятельство бз дет использовано ниже при исследовании интегральных уравнений (8.52). К этому вопросу мы вернемся в следующем параграфе. [c.267] Укажем некоторые теоремы единственности, которые почти непосредственно следуют из выведенных в предыдущем параграфе формул. [c.267] Допустим, рассматриваемые граничные задачи имеют два различных регулярных решения. Составив разность решений, которая на I, очевидно, равна нулю, и применив к этой разности формулу (8.47) один раз во внутренней, затем во внешней области, получим следующие теоремы. [c.267] Теорема 6. Регулярное решение системы уравнений (8.4) в 1 или обращающееся в нуль на границе, есть тождественный нуль. [c.267] Вернуться к основной статье