ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теоремы о характеристических числах интегральных уравнений задач (А) и (Вх) из "Методы потенциала в теории упругости " Наконец, составив разность ]Хд[и(х) — Б(х л ] и приняв во внимание, что интегралы, стоящие в правой части (7.1), суть регулярные решения уравнения Д[а)И + Л = 0 в В д. убеждаемся, что и(х)—Е(х х ) также является регулярным решением этого уравнения. [c.207] Таким образом, мы показали, что, если интегральное уравнение (7.1) имеет регулярное решение, оно будет удовлетворять равенствам (7.4), (7.5), (7.6), (7.8) и разность а(х)—Е(х х ) будет регулярным в Вд вектором, но тогда и(х) есть решение задачи (А), и наше утверждение доказано. [c.207] Теорема 1. Однородное уравнение (JЛ ), соответствующее уравнению (7.1), допускает только тривиальное решение. [c.208] Так как мы допустили существование решения, то, очевидно, существует вектор и х), который удовлетворяет равенству (7.9), рассматриваемому как интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Принимая Ф х) за правую часть этого уравнения, можно его решение представить с помощью первой теоремы Фредгольма, если только существует резольвента Фредгольма, соответствующая ядру Г( )(лг, у). [c.208] По теореме 4 4 гл. III такой вектор есть тождественный нуль, и, следовательно, наше предложение доказано. [c.209] Условия, при которых реализуется первый или второй из этих случаев, исследованы в работе 3. М. Гогниашвили [66] (см. также 4). [c.212] Теорема 1. Характеристические числа ядра (Уо,у) вещественные числа. [c.214] Теорема 2. Характеристические числа ядра у) по абсолютному значению не меньше единицы. [c.216] Теорема 3. Характеристические числа ядра 1 у , у) суть простые полюсы резольвенты. [c.216] Доказательство аналогично доказательству теоремы 3. [c.216] Представляет интерес доказательство этих теорем для ядра Ж (у , у). [c.216] Теорема 4. Решения интегральных уравнений (а) и есть в то же время единственные решения функциональных уравнений (А), (5,) соответственно. [c.216] Вернуться к основной статье