ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Построение решения в средах из "Нелинейные волны в упругих средах " Коэффициент X, как неоднократно указьлвалось ранее, отвечает за нелинейные свойства среды. Естественно, что последовательности волн, представляющие решение, при разных знаках х тоже будут отличаться и составом волн, и порядком их следования. Рассмотрим построение решения автомодельной задачи о плоских волнах в полупространстве для каждой из этих сред отдельно. [c.245] На рис. 5.2 жирной линией изображены эволюционные участки А7, АЕ и ЕК ударной адиабаты с начальным состоянием в точке А, когда Д(А) 0. Если граничное состояние В и ) принадлежит отрезку А7 или ЕК, то от границы ж = О в область ж О идет одна быстрая ударная волна 5а или 52, скорость которой зависит от положения точки и на ударной адиабате. Если же состояние и принадлежит отрезку АЕ, то от границы в область а О идет одна медленная ударная волна д - Изменение деформаций в такой волне дано на рис. 5.3 Ь. [c.247] Линия Д = О (рис. 4.3) делит всю плоскость начальных данных на две области - внутри этой линии Д О и вне ее Д 0. Надо знать в какой из областей находится не только точка А, но дуга интегральной кривой АКх и эволюционный участок ударной адиабаты А7 быстрых волн, которые в решении будут идти первыми, и состояния за ними будут служить фоном для следующих волн. Напомним, что точка Жуге 7 находится в четвертой четверти и ее координаты всегда подчиняются неравенству иа( ) ис(А) . Можно указать несколько вариантов положения точек А VI J относительно линии Д = О, которьле дадут качественно различные решения. Они приведены на рис. 5.4. [c.248] Тонкой сплощной линией на рис. 5.4 изображена интересующая нас часть линии Д = О, жирной линией - эволюционный участок ударной адиабаты и штриховой - интегральные кривые быстрых волн Римана, проходящие через точки А и 7. [c.248] Пусть граничное состояние и представлено точкой В на рис. 5.2. Начальную точку А можно соединить с точкой В, используя отрезки интегральных кривых двух волн Римана, сначала быстрой АМ), затем медленной МВ ). Это значит, что по начальному состоянию 1]а от границы в область х О идет сначала быстрая волна Римана Дз, скорость ее переднего фронта С2 А), состояние за ней иа М). За этой волной имеется расширяющаяся по автомодельному закону область постоянных значений иа М). Затем идет вторая, медленная волна Римана со скоростью переднего фронта С М). Такую последовательность волн записываем в виде ДзДь Порядок написания символов соблюдаем тот же, что и порядок следования волн от границы в область а О — впереди идет быстрая волна Римана Дг, затем медленная волна Римана Я. [c.249] Иллюстрация этого решения дана на рис. 5.5 а. На плоскости х,г пучками прямолинейных характеристик представлены автомодельные волны Римана, быстрая и медленная. В верхней части рисунка приведен качественный вид профилей компонент их (ж) и и2 х) в некоторый момент времени г, отмеченный на характеристической плоскости х,1. Если взять другой момент времени Ь , то легко представить, как будут расширяться со временем области АМ и МВ, соответствующие волнам Римана, и область постоянных параметров ММ. Такую форму имеет рещение, если точка ы, представляющая состояние на границе, оказалась на плоскости ых 2 в области между линиями А А, АК и К К[, представляющих участки интегральных кривых волн Римана. На общей картине на рис. 5.6 область с таким видом решения ДзДх отмечена цифрой 1. [c.249] Если же состояние и представлено на рис. 5.2 точкой В, то за первой быстрой волной Римана Д2, переводящей состояние 1,1/2) в состояние М и и ), идет медленная ударная волна 5х. Отрезок МВ на рис.5.2 является эволюционной частью ударной адиабаты, построенной для точки М как начальной. [c.249] Решение состоит из двух волн / 2 51 и представлено на рис. 5.5 Ъ. Закон движения фронта разрыва на характеристической плоскости X, I выделен жирной линией. Так будем изображать ударные волны на всех последующих рисунках этой главы. [c.250] Теперь укажем на плоскости и и2 границы области для значений и, которые дают решение найденного вида. Обратимся к рис. 5.6, на котором дана общая картина областей с разными решениями, которые нам предстоит. обсудить ниже. [c.250] На рис. 5.6 и всех последующих в этой главе, части интегральных кривых волн Римана, входящие в состав границ областей, будем изображать штриховой линией, эволюционные части ударных адиабат при любых начальных точках - жирной сплощной линией. Прочие части границ, которые будут оговариваться особо, - пунктирной линией. [c.250] АК интегральной кривой идущей впереди быстрой волны Римана. Эволюционные отрезки ударных адиабат идущих следом медленных волн начинаются из точек дуги АК и заканчиваются точками Жуге типа Е во второй четверти. Их концы составляют линию ЕЕ и в них = С2 М). Эволюционный отрезок из точки К идет вдоль оси П2 и его концом является точка Е. Таким образом, эволюционные отрезки медленных волн заметают область, ограниченную дугой АК с одной стороны и линией ЕЕ с другой. В состав границы входят отрезки АЕ и К Е ударных адиабат. [c.251] За первой быстрой ударной волной 52, переводящей состояние А в какое либо положение М на отрезке AJ, следом может идти вторая, медленная, ударная волна 8, переводящая состояние М в точки области 2 (рис. 5.6). Решение имеет вид 8281 и приведено на рис. 5.7 Ь. [c.252] Условием Д(А) О предопределено существование двух типов быстрых волн (отрезки AJ и КЕ) и точек Жуге Е и К. Точка М - какая-нибудь точка отрезка AJ - представляет состояние за первой, быстрой ударной волной 5з. Из нее как из начальной проведена дуга ударной адиабаты медленной волны На рис. 5.86 дана диаграмма эволюционности (см. 1.8 и 4.7) ударных волн из точки А. Из нее видно, что для первой, быстрой волны (верхняя заштрихованная область) с — С2 М). Идущая следом медленная ударная волна из точки М имеет эволюционный отрезок, который заканчивается точкой Жуге Ем- Так как вся дуга AJ находится в области Д О, то У2 Ем) = = С2 М). [c.253] Эта точка служит на отрезке МЕм границей, до которой пригодно решение 8281. Такую комбинацию двух эволюционных ударных волн, у которых У2 = 1, т.е. движущихся с одинаковой скоростью, можно рассматривать как один скачок и состояние за ним принадлежит одновременно ударной адиабате из точки А и эволюционному участку второго скачка из состояния М. О таких комбинациях скачков, движущихся с одинаковой скоростью, подробно рассказано в 4.13. [c.254] Таким образом, две ударные адиабаты пересекаются и в точке пересечения И 2 = = ам- Из графика скоростей на рис. 5.8 Ь видно, что на ударной адиабате имеется три таких точки, где Ш = (точки т, т и т на вертикали = И лт)-Одна из них [т) лежит на отрезке ЕЕ (рис.5.8а и Ь). Именно она служит концом участка МтУ, на котором решение автомодельной задачи о поршне имеет обсуждаемый сейчас вид 5251. Ударный переход в состояние т непосредственно из точки А одним скачком является неэволюционным и не входит в решение задачи. [c.254] Вторая точка пересечения т находится на эволюционном участке КЕ первой адиабаты. Поэтому для точки т решением задачи является один скачок 2 из начального состояния А. [c.254] На ударной адиабате есть еще одна точка тп , для которой = АМ- Однако, не существует эволюционного скачка в это состояние ни из точки А, ни из точки М. Решение для граничного состояния, представленного точкой т , имеет другой вид. [c.254] И 2 = WJp = 2 J) = С2. Таким образом, точка Р для второй волны является точкой Жуге того же типа, что F у первой. Так как A(J) О, то на второй адиабате есть еще одна точка Жуге, где IV = = 2(J) (того же вида, что К). [c.255] Это точка Q - вторая точка пересечения ударных адиабат. Наличие двух точек Р и Q с равными скоростями С2(7) по разные стороны от точки максимума скоростей Е хорощо видно на графике скорости на рис. 5.8 Ь. Эти рассуждения показывают, что условие Д(7) О (существование двух точек Жуге Р и Q) равносильно условию WJ (рис. 5.86), и пока оно выполнено, точка Р является внутренней для отрезка ЕЕ. [c.255] границей области 2, где решение имеет вид 8281, служат эволюционные отрезки AJ, АЕ и и часть ЕР неэволюционного отрезка первой ударной адиабаты. [c.255] Вернуться к основной статье