ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волны в несжимаемых средах из "Нелинейные волны в упругих средах " Будем считать, что в анизотропной среде С Ф 0) отсутствует какая-нибудь одна из компонент начальной деформации сдвига (С/х = О или 1/2 = 0). Построение ударной адиабаты и эволюционных участков на ней в применении к этому частному случаю можно вести двумя способами. Первый путь состоит в том, что в построенном выше решении для общего случая устремим к нулю компоненту [ 2 (или С/1) и получим частный вид решения предельным переходом. Другой способ предполагает положить сразу С/2 (или соответственно С/1) равным нулю непосредственно в уравнениях на разрыве (4.13) и далее вести отыскание эволюционных отрезков по общим правилам ( 1.6). Увидим, что результат окажется разным, и это будет предметом обсуждения. [c.212] На плоскости 1 2 (рис. геГ 4.8) это ось абсцисс и окружность с центром в точке 01 —щ,0). Ее радиус Ка = и + щ больше радиуса Е = Пх энтропийной окружности (4.22). Обе окружности проходят через начальную точку А и, 0) и энтропийная лежит целиком внутри. На рис. 4.8 энтропийная окружность 1 + 2 = изображена штриховой линией. [c.212] Сравнивая приведенную картину с общим случаем рис. 4.6, можно сказать, что полуокружность в верхней полуплоскости (или, в равной мере из-за симметрии, в нижней) вместе со своим диаметром играет роль петли ударной адиабаты. Другая полуокружность составляет тогда часть одного из хвостов, уходящих в бесконечность вдоль оси абсцисс. [c.212] Ими будут значения ф = О ж ф — тт. Первое дает начальную точку А, второе - точку Н на пересечении окружности с осью щ в точке щ = — Ра+ щ). Наличие экстремума на окружности в точке А означает, что с ней совпала точка Жуге, которая в. общем случае обозначалась J и несла максимум и 5 при х О и минимум при X 0. График скорости на рис. 4.5 показывает, что в таком случае с точкой А совпала еще и точка Жуге Ь. [c.214] Теперь укажем место точек Жуге, где и . [c.215] Для характеристических скоростей с 2 при [/2 = 0 получаются выражения / - с(ъи1 + С) и / - х(С/2 - О). При х О эти величины равны соответственно и с , при х О - наоборот С2 и с] . Достаточно указать положение точек Жуге для х 0. [c.215] Это начальная точка А и еще точка с координатой щ = 2С/1. Сопоставление с общим случаем (рис. 4.6) подсказывает, что это аналог точки В, если она оказалась за пределами окружности-адиабаты радиуса Еа- Это происходит, если [ х 20. В противном случае найденная точка есть точка К на петле ударной адиабаты (рис. 4.8 6). [c.215] Если неравенство Щ 20 не выполнено, точек Жуге = на окружности нет (рис. 4.8 а). [c.216] Для сред с X О все точки Жуге находятся в тех же местах ударной адиабаты, только значения характеристических скоростей быстрых и медленных возмущений меняются ролями. Это следует учесть при выделении эволюционных отрезков. [c.216] Все сделанное до сих пор не зависит от того, считаем ли мы, что С/2 = О или что С/г О с принятой степенью точности. Другое дело условия эволюционности, которые получаются при наложении малых возмущений на систему соотношений на разрыве (4.13) и последующей линеаризации полученной системы. Для эволюционности линеаризованная система должна иметь однозначное решение. [c.216] Рассмотрим сначала, что даст исследование разрывов на эволюционность в случае С/г 0. Для этого достаточно взять решение для общего случая (рис. 4.6) и поместить концы эволюционных участков в только что найденное их положение. Расположение эволюционных участков ударных волн примет вид, изображенный на рис. 4.8 а и Ь. Как обычно, тонкой штриховой линией проведена для ориентира энтропийная окружность радиуса С/х. Жирной сплошной линией выделены эволюционные участки для сред с х О и отштрихованной жирной линией -для сред с X 0. [c.216] Напомним, что Ьа и Уа - компоненты скорости частиц за и перед разрывом соответственно. Уравнение сохранения энергии отщепилось от системы и может не рассматриваться. [c.217] Система распадается на две независимые подсистемы. Два последних уравнения содержат только возмущения 8п2, С/2, 6у2 в направлении поперечном к линии изменения деформаций в пло-скополяризованных ударных волнах и не содержат ТУ. В то же время эти возмущения не входят в первую пару уравнений (4.10) и не могут повлиять на плоскополяризованные волны. В 1.6 было показано, что в таком случае, кроме уже учтенных условий эволюционности (4.23) для всей системы соотнощений на разрыве (4.10), одновременно должны быть выполнены такие же условия для подсистемы, не содержащей 61 . [c.218] Ось П2 представляет плоскополяризованные ударные волны, а окружность (4.40) симметрична относительно этой прямой. Возможные варианты расположения ударной адиабаты на плоскости щи2 приведены на рис. 4.9 а, 6, с. Штриховой линией отмечена энтропийная окружность. [c.219] Верхнему знаку соответствует точка F или F, нижнему - точка L или D. Положение всех точек на оси U2 указано на рис. 4.9 а, если С/ G, и на рис. 4.9 6 и с для Щ G. [c.220] Если / С, то вся окружность ударной адиабаты лежит внутри энтропийной окружности. Для сред с х О существуют медленные плоскополяризованные волны (отрезок АР) и быстрые, представленные всей окружностью (4.40) и еще отрезком EJ оси ординат от этой окружности до точки П2 = — При АС Щ О точка П2 = — лежит вне окружности и служит точкой J (рис. 4.9 6), если же Щ АО, то это точка Е внутри окружности (рис. 4.9 с). При = АС окружность проходит через особую точку, в которой совпадают характеристические скорости с = и, следовательно, совпадают точки Е и J. Для сред с X О при Щ С эволюционным для быстрых ударных волн является учах ток положительной оси ординат АА от начальной точки и далее, а для медленных ударных волн отрезок ОЬ (рис. 4.9 6, с). [c.221] Заметим, что в отсутствии анизотропии (С = 0) в средах с X О эволюционными будут ударные переходы из точки 0 1/1 = 0,1/2 = 0) в любое состояние на плоскости и и2. Эта ситуация подробно исследована в (Бленд [1972]). [c.222] Таким образом, оказалось, что предельный переход 1/2 О (или 1/1 -) 0) дает более щирокую область реализующихся ударных волн, чем при строгом равенстве 1/2 = 0 (или С/х = 0). [c.222] Эволюционность означает конечность коэффициентов преломления и отражения малых возмущений на ударной волне. Эти коэффициенты могут расти при уменьшении [/х или 1 2 и стать бесконечными, когда одна из этих величин обратится в нуль. Соответствующая ударная волна станет неэволюционной. Это будет видно при рассмотрении автомодельных решений в следующей главе. [c.223] Вернуться к основной статье