ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Условия на слабых ударных волнах из "Нелинейные волны в упругих средах " Особо следует сказать о волнах Римана при д = 0. Так как параметр д, согласно равенствам (3.12), слабо влияет на описание квазипродольных волн, то все сказанное о них выше (см. 3.3) остается в силе и при д = 0. [c.173] Величина = и + и характеризует модуль деформации сдвига в плоскости фронта волны. Изменение продольной компоненты из описывается по-прежнему равенствами (3.14) и (3.15), в которые д не входит. Эти волны являются плоскополяризованными. [c.174] Приведенные выражения для характеристических скоростей Сг И с показывают, что при х О вращательные волны являются быстрыми, при X О — медленными. [c.174] Как любая бегущая волна, вращательная волна может нести разрыв функций, существующий в начальных данных. Но он не сопровождается ростом энтропии. В то же время, из непрерывных начальных функций в процессе эволюции решения не может образоваться разрыв, соответствующий этому типу волн. [c.174] Волны Римана малой интенсивности в изотропных упругих средах без предварительной деформации (что соответствует д = 0) подробно описаны в (Бленд [1972]). Исследование волн Римана в магнитной гидродинамике (где внутренняя энергия, как показано в 2.5, тоже обладает волновой изотропией) приведено в (Куликовский и Любимов [1962]). [c.175] Рассматриваются одномерные волны (независимые переменные а и i) малых возмущений, описываемые дифференциальными уравнениями теории упругости. Находятся скорости характеристик этой системы уравнений, относящейся к гиперболическому тйпу. В рассматриваемом случае малой волновой анизотропии линейные волны и волны Римана разделяются на квазипродольные и квазипоперечные. [c.175] Квазипродольные волны, распространяющиеся в положительную (или отрицательную) сторону оси х, связаны с одним семейством характеристик, обладающих наибольщей скоростью. В этих волнах происходит в основном сжатие среды в направлении распространения. Это сжатие характеризуется изменением величины щ (напомним, что = dwi/dx, W - компоненты вектора перемещения среды). Изменения поперечных деформаций сдвига в этой волне малы и даются равенствами (3.12). Скорость характеристик и ее изменение в волне Римана представлены равенством (3.13). Поведение квазипродольных волн типично для волн, связанных с одним семейством характеристик, и изучалось ранее во многих физических ситуациях, начиная с волн в газах. [c.175] Характеристические скорости квазипоперечных волн даются равенством (3.20). В зависимости от знака перед корнем квазипоперечные волны разделяются на быстрые и медленные. Изменение ui и U2 в каждой из квазипоперечных волн Римана описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями (3.22). Интегральные кривые волн Римана представлены на рис. 3.1, где стрелками обозначено направление уменьщения характеристических скоростей вдоль интегральных кривых в средах, у которых упругий модуль ответственный за нелинейность X 0. (Для сред X О эти направления указывают увеличение характеристических скоростей.) Изменение щ и U2 в частицах среды с ростом времени в неопрокидывающихся волнах Римана совпадает с направлением уменьшения характеристических скоростей вдоль интегральных кривых (при х О вдоль стрелок). Как частный случай рассмотрены волны Римана при отсутствии волновой анизотропии. При этом оказалось, что одна из волн Римана является плоскополяризованной (значения щ, U2, из В такой волне лежат в некоторой плоскости, проходящей через ось из), а другая волна является вращательной (ui, U2, из принадлежат окружности uj- - и = onst, лежащей в плоскости из = onst). Вращательная волна является бегущей волной, т.е. перемещается не изменяя со временем своей формы. [c.176] Здесь Ж-лагранжева скорость фронта разрыва, квадратными скобками обозначены скачки соответствующих функций, например, [и ] = k1 индекс относится к состоянию перед разрывом, индекс + — за разрывом. Далее для компонент деформации перед скачком обычно будут еще использоваться обозначения = [ к, а для компонент за разрывом индекс + часто будет опускаться, = ик- Последняя группа кинематических соотношений служит, очевидно, для вычисления скачка скорости среды [и,]. [c.177] Уравнение (4.5), представляющее закон сохранения энергии на разрыве, служит для вычисления изменения энтропии по найденным ранее [ик]. Возможность отделения уравнений для нахождения [ик] от соотнощения, выражающего [5], связана с отсутствием в разложении Ф перекрестных членов, зависящих от Uj и 5. Последнее, как уже говорилось, может быть принято с достаточной точностью для не очень сильных разрывов, где [5] мало. [c.180] Если изменения деформаций в скачке [и ] настолько малы, что их квадратами можно пренебречь, то уравнения (4.4) да1ют линейную систему для [и ], полностью совпадающую с линеаризованной системой (3.10) волн Римана, в которой Ф = Фik Uj) определены формулами (4.3) и а = роУУ . [c.180] При [ к ф О в волне, соответствующей аз, величины [и1]/[ з] и [п2]/[и малы, порядка в волнах, соответствующих 0 1,2 малы величины [из]/у/[Й1р + [й . При переходе к нелинейным скачкам слабой интенсивности это свойство сохраняется. Поэтому, как и волны Римана, будем различать квазипродольные и квазипоперечные разрывы и изучать их раздельно. [c.180] Рассматриваемые скачки предполагают возможность изменения энтропии. Поэтому мы будем называть их также ударными волнами. [c.180] Вернуться к основной статье