ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волны Римана из "Нелинейные волны в упругих средах " Рассмотрим здесь несколько различных случаев распространения нелинейных волн, описание которых дается той же системой уравнений, что и рассматривавшееся выше описание волн в упругих средах. [c.142] Здесь и в дальнейшем греческие индексы пробегают значения 1,2 по повторяющимся индексам, как всегда, проводится суммирование. Равенство (2.35) представляет теорему Пойнтинга, причем С истолковывается как поток электромагнитной энергии, а левая часть этого равенства представляет приток электромагнитной энергии к единице объема. [c.143] В случае уравнений состояния (2.36) общего вида возникает более сложная система уравнений. Нащей целью здесь было отметить возможность применения результатов теории пругости к распространению нелинейных электромагнитных волн. [c.144] При отсутствии поляризации и намагничивания энергия среды в присутствии электромагнитного поля равна сумме энергии среды без влияния электромагнитного поля и энергии поля без влияния среды. Плотность последней в рассматриваемом случае, когда Е В, равна и не зависит от выбора системы координат, поскольку можно считать не зависящим от выбора системы координат вектор В (в нерелятивистском приближении вектор В преобразуется по формуле В = В - v X Е)/ск, В). [c.145] В случае бесконечной проводимости через любой элемент материальной поверхности отсутствует поток энергии G — сЕ X В/Ап = О поскольку = 0) в системе координат, связанной с этим элементом. Это позволяет, как обычно, считать, что приток энергии к малой частице среды через ее границу равен работе напряжений, (которые зависят и от магнитного поля) на поверхности частицы и притоку тепла. [c.145] Применительно к изучению бесконечно проводящих упругих сред в магнитном поле из предыдущего следует возможность записать уравнения движения в форме Пиолы-Кирхгоффа (Сиб-гатуллин [1984]). При этом, очевидно, к упругому потенциалу среды Q dwi/dxj,S) нужно добавить энергию магнитного поля, отнесенную к единице начального объема. Последняя, в силу вмороженности магнитного поля, выражается также через dwi/dxj и напряженность начального магнитного поля (не меняющегося со временем). [c.145] Если Фо = Фо( 1 + И2,г1з, 5), т.е. для среды выполняется свойство волновой изотропии, а Sj и в не равны нулю одновременно, то выражение (2.40), в котором Ф(и1, 2) з) взято из представления (2.39), не будет обладать свойством волновой анизотропии. [c.146] В частном случае, когда Фо = Ф(мз, 5), мы имеем магнитную гидродинамику (среда не сопротивляется деформации сдвига, задаваемой при распространении плоских волн величинами щ и 2 ). В этом случае для Ф можно пользоваться выражением (2.38), и представление (2.40) будет соответствовать случаю волновой изотропии. Волны малой амплитуды при волновой изотропии будут изучаться в последующих главах. Результаты относительно магнитогидродинамическйх волн конечной амплитуды содержатся в книге (Куликовский и Любимов [1962]). [c.146] Рассмотрим однородный слой упругой непроводящей поляризующейся и намагничивающейся среды О а 1 (х, как всегда, лагранжева координата). Пусть этот слой подвергнут однородной деформации, соответствующей некоторым значениям щ. Для определенности будем считать, что частицы, соответствующие X = О, при этой деформации не переместились, а перемещения частиц, соответствующих х = 1, определяются вектором с компонентами щ. Вследствие деформации среды или из-за изменения внещнего поля в рассматриваемом слое могут измениться векторы D и В. Изменение поля, поскольку отсутствуют токи и заряды, описывается системой (2.34). Уравнение Пойнтинга (2.35) показывает, что изменение D и В сопровождается возникновением потока электромагнитной энергии вне слоя и притоком электромагнитной энергии к слою, занятому средой. Это отличает рассматриваемую ситуацию от того, что обычно имеет место в механике сплошной среды и в магнитоупругости. [c.147] Знак дифференцирования по времени вынесен из под знака интеграла, поскольку интегрирование проводится в не зависящих от времени пределах. [c.148] Удобно ввести энергию собственно среды как всю энергию, заключенную в объеме, занятом средой, за вычетом энергии электромагнитного поля ( 2 1)( +5 ) в том же объеме при отсутствии в нем вещества. Плотность этой энергии по лагран-жевому объему обозначим через Ф. Точно так же из выражения (2.42) для притока электромагнитной энергии можно выделить ту часть, которая передается среде, вычитая ту часть притока энергии, которая пошла бы на увеличение энергии поля в том же объеме при отсутствии среды. [c.148] Первый член в правой части представляет собой приток механической энергии в виде работы, второй - приток тепла, а третий - приток электромагнитной энергии. [c.149] Эти равенства позволяют при заданных внешних параметрах (или силах ), к которым можно отнести Еа, H , D3, В3, стз. [c.149] И будем рассматривать эту величину как функцию Е , Рз, На, Мз и 5. [c.150] Следует заметить, что Рз и Мз представляют собой внутренние параметры, изменение которых приводит к притокам энергии. Поэтому при равновесных процессах они являются функциями остальных аргументов, от которых зависят Ф и Ф, и могут быть исключены из числа аргументов этих функций (или не включаться с самого начала в число аргументов). Формально это сводится к нахождению Рз и Мз из уравнений дФ/дРз = О и дФ/дМз = О, или из аналогичных равенств с Ф, и подстановке найденных значений в Ф или Ф. При этом в левых частях равенств (2.45) и (2.48) не будет членов с Рз и Мз, а все остальные члены не изменятся. [c.151] Вернуться к основной статье