ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дополнительные соотношения на разрыве из "Нелинейные волны в упругих средах " Наряду с упомянутыми в 1.11, существует еще достаточно много ситуаций, когда требование существования структуры разрыва приводит и к ограничениям типа неравенств, и к появлению дополнительных граничных условий, которые зависят от процессов, происходящих внутри структуры. Наиболее известны ограничения, возникающие в теории горения и детонации (Ландау и Лифшиц [1986], Льюис и Эльбе [1968], Зельдович и др. [1980]). [c.89] Соотношения на разрывах для этого уравнения будем получать, изучая структуру разрывов с помощью уравнения (1.57). Уравнение (1.58) - первого порядка и имеет характеристическую скорость с(и) = dif/du. Решение этого уравнения с ростом t не опрокидывается, если с и) убывает с ростом t при х = onst, т.е. если с ростом t функция и меняется так, что мы движемся по выпуклой части кривой р и), где (р О, направо или по вогнутой части кривой (р и) (где (р 0) налево. [c.90] Считая известным значение и , получим С = (р и ) — Wu Для любого решения, стремящегося при оо к постоянному значению и+, получаем также выражение С = р и ) — Wu . [c.90] Таким образом, уравнение (1.58) вместе с соотношением (1.60) обеспечивают выполнение закона сохранения для и (функция и выполняет роль плотности, (р и) - потока). Уравнению (1.60), кроме точки и , удовлетворяют абсциссы точек пересечения графика функции 1р и) с секущей (рис. 1.16), проведенной через начальную точку (и , (р(и )) под углом а, где tg k = IV. Таких точек может быть три (им соответствуют Пв, ис, на рис. 1.16), одна или ни одной в зависимости от значений и и IV. [c.91] Если считать, что равенство (1.60) - единственное соотношение на разрыве, то скачки и Пв я и Пр эволюционны, а разрыв и — Пс неэволюционен, что видно из сравнения углов наклона секущей и касательной к линии (р(и) в начальной и конечной точках. [c.91] Для качественного исследования решения заметим, что Р(и) в соотношении (1.59) представляет при заданном и разность ординат на рис. 1.16 упомянутой выше секущей и кривой (р(и). Если не интересоваться масштабом переменной то из вида уравнения (1.59) следует, что форма решения, т.е. вид функции 1(-( ), рассматриваемой с точностью до изменения масштаба переменной зависит только от комбинации т/р , а не от т и в отдельности. Действительно, при изменении масштаба по оси X происходит изменение коэффициентов т и (I при неизменном отношении т(1л . В частности, от этой же величины зависит и то значение к которому стремится решение при оо (т.е. выбор в качестве одного из значений Пв, с или По). [c.91] Рассмотрим теперь случай, когда то О и /i 0. Тогда уравнение (1.59) можно рассматривать как уравнение движения тела массы т под действием силы F(ti), зависящей от координаты U, при наличии трения, задаваемого выражением fidu/d , причем играет роль времени. При выборе начального состояния, изображенного точкой А на рис. 1.16, при изменении W в некотором интервале значений, имеется четыре положения равновесия, где F u) = 0. Это сама начальная точка А (неустойчивая, поскольку при малом отклонении точки от положения А знак F совпадает со знаком и — и ), точка В (устойчивая), точка С (неустойчивая) и точка D (устойчивая). Только одна из этих точек при заданных и и W представляет, в силу решения уравнения (1.59), состояние за разрывом, или в модельном рассмотрении точку остановки тела массы т. [c.92] Действующая ударная адиабата состоит из интервалов AR, JK, MN и (Q,oo), изображенных жирными линиями, и отдельных точек I, L и Р. Число отдельных интервалов при заданной функции (р и) зависит от отношения m/fi и неограниченно растет вместе с этой величиной). [c.92] При увеличении W уменьшается по модулю сила F на отрезке ВС (рис. 1.16) и уменьшается длина этого отрезка. Одновременно усиливается разгон тела массы т на отрезке АВ. Поэтому при достаточно малых m/fi найдется такое значение W = Wj, что тело, проскочив устойчивое положение равновесия В, будет при t - оо приближаться к неустойчивой точке равновесия типа С (точка,/ на рис. 1.17). Эта точка при W — Wj соответствует состоянию за допустимым разрывом. [c.93] При дальнейшем увеличении W, если т/ц достаточно велико, то найдется такое значение W = Wli что тело, разогнавшись на отрезке АВ, с такой скоростью проходит через точки С и D направо, что при возвратном движении будет при i - оо неограниченно приближаться к неустойчивой точке равновесия типа С справа. Эта точка L принадлежит действующей ударной адиабате и соответствует W = Wi. [c.94] Если еще увеличить W, то тело перейдет справа на.лево через неустойчивую точку типа С и при i — оо будет стремиться к устойчивой точке равновесия типа В. Таким решениям соответствуют точки отрезка MN на рис. 1.17. [c.94] Для случая, когда т О, исследование действующей ударной адиабаты может быть проведено аналогично, если ввести новую независимую переменную г]так, чтобы в уравнении (1.59) коэффициенты при первой и второй производной имели одинаковые знаки. При этом уравнение будет по-прежнему описывать движение точки при наличии трения под действием силы —Е и). [c.95] Если т и (I устремить к нулю, оставляя при этом отношение постоянным, или характерный линейный размер задачи устремить к бесконечности вместе с масштабом измерения длин, то получим, что решение, представляющее структуру, превратится в разрыв, допустимый для заданных (р и), т/(л , и . [c.95] Обнаруженное при достаточно больших значениях 7п//и сложное строение действующей ударной адиабаты обусловлено наличием нескольких особых точек, соответствующих одному и тому же значению W и достаточно сложному строению интегральных кривых (вызванному в рассматриваемом случае наличием колебаний внутри структуры). [c.96] Вернуться к основной статье